2009年上海市卢湾区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=2^-x+1-3（x＞1）的反函数为    ．

2. 难度：中等

函数的单调递减区间为    ．

3. 难度：中等

若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为    ．

4. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=2，BC=1，AA₁=3，则BC₁与平面BB₁D₁D所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=    ．

5. 难度：中等

若取地球的半径为6371米，球面上两点A位于东经121°27'，北纬31°8'，B位于东经121°27'，北纬25°5'，则A、B两点的球面距离为    千米（结果精确到1千米）．

6. 难度：中等

在二项式的展开式中，第四项为    ．

7. 难度：中等

若集合A={x|x²+（k-3）x+k+5=0，x∈R}，A∩R⁺≠Φ，则实数k的取值范围为    ．

8. 难度：中等

若y=f（x）为定义在D上的函数，则“存在x∈D，使得[f（-x）]²≠[f（x）]²”是“函数y=f（x）为非奇非偶函数”的    条件．

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当x∈[0，3]时，f（x）=-x²+2x+4，则当x∈[3，6]时，f（x）=    ．

10. 难度：中等

若集合A={a|a≤100，a=3k，k∈N^*}，集合B={b|b≤100，b=2k，k∈N^*}，在A∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A∩B中的概率为    ．

11. 难度：中等

记为一个n位正整数，其中a₁，a₂，…，a_n都是正整数，1≤a₁≤9，0≤a_i≤9（i=2，3，…，n）．若对任意的正整数j（1≤j≤n），至少存在另一个正整数k（1≤k≤n），使得a_j=a_k，则称这个数为“n位重复数”．根据上述定义，“五位重复数”的个数为．    ．

二、选择题

12. 难度：中等

函数y=sin²2x是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数

13. 难度：中等

若α为第二象限角，则=（ ）
A．2sin²α
B．-2cos²α
C．0
D．2

14. 难度：中等

C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n^2k+…+C_2n²ⁿ的值为（ ）
A．2ⁿ
B．2^2n-1
C．2ⁿ-1
D．2^2n-1-1

15. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D（x₁≠x₂），都有，则称y=f（x）为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为（ ）
A．y=log₂
B．
C．y=x²
D．y=x³

三、解答题

16. 难度：中等

解不等式：．

17. 难度：中等

设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为实数）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； 
（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

18. 难度：中等

（理）已知四边形OABC为直角梯形，∠AOC=∠OAB=90°，PO⊥平面AC，且OA=3，AB=6，OC=2，PO=3．若，求：
（1）点D的坐标；
（2）异面直线PC与AD所成的角θ（用反三角函数值表示）．

19. 难度：中等

（文） 已知四边形OABC为直角梯形，∠AOC=∠OAB=90°，PO⊥平面AC，且OA=3，AB=6，OC=2，PO=3．
（1）求证：AB⊥PA；
（2）求异面直线PB与OA所成的角θ（用反三角函数值表示）．

20. 难度：中等

（理）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
（1）随机变量ξ的概率分布； 
（2）随机变量ξ的数学期望与方差．

21. 难度：中等

（文）袋中有同样的球9个，其中6个红色，3个黄色，现从中随机地摸6球，求：
（1）红色球与黄色球恰好相等的概率（用分数表示结果）
（2）红色球多于黄色球的不同摸法的种数．

22. 难度：中等

在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=75°，点D在AB上，且CD=10．
（1）若点D与点A重合，试求线段AB的长；
（2）在下列各题中，任选一题，并写出计算过程，求出结果．
①（解答本题，最多可得6分）若CD⊥AB，求线段AB的长；
②（解答本题，最多可得8分）若CD平分∠ACB，求线段AB的长；
③（解答本题，最多可得10分）若点D为线段AB的中点，求线段AB的长．