2011年江苏省南通市海门市高三第一次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为    ．

2. 难度：中等

若复数z=m²-1+（m²+2m-3）i是纯虚数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

设S=C₂₇¹+C₂₇²+C₂₇³+…+C₂₇²⁷；求S除以9的余数为     ．

4. 难度：中等

在极坐标系中，点P（2，π）与点Q关于射线对称，则|PQ|=    ．

5. 难度：中等

求圆C：x²+y²=1在矩阵 对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．

6. 难度：中等

将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为     ．

7. 难度：中等

根据科学家的测算，未来若干年人类活到76岁的概率是0.8，活到90岁的概率是0.4，则现年76岁的某人活到90岁的概率是     ．

8. 难度：中等

设命题p：|4x-3|≤1；命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

已知曲线C的方程为为参数），过点F（2，0）作一条倾斜角为的直线交曲线C于A、B两点，则AB的长度为    ．

10. 难度：中等

设向量，为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量，，且，则满足上述条件的点P（x，y）的轨迹方程是     ．

11. 难度：中等

如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为     ．

12. 难度：中等

2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量．某游客非常支持这一方案，计划在游园期间种植某种树，已知这种树的成活率为p（0＜p＜1），设ξ表示他所种植的树成活与否，即，ξ的方差为V（ξ）．则V（ξ）达到最大值时p的值为     ．

13. 难度：中等

下列命题中：
①若p、q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
②若p为：∃x∈R，x²+2x+2≤0，则¬p为：∀x∈R，x²+2x+2＞0；
③若命题“∃x∈R，x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是-1≤a≤3；
④已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：x²-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则命题“¬p∨¬q”是假命题．所有正确命题的序号是     ．

14. 难度：中等

在样本的频数分布直方图中，共有5个小长方形，若前面4个小组的频率分别为0.1，0.3，0.2，0.1，且第五组的频数是60，则样本容量是     ．

15. 难度：中等

已知曲线C：，直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=12．
（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．

16. 难度：中等

设等比数列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值；
（2）若等比数列的公比为q，且复数μ满足，求|μ|．

17. 难度：中等

已知命题p：（x+1）（x-5）≤0，命题q：1-m≤x≤1+m（m＞0）．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

18. 难度：中等

[1]已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．
（1）求矩阵A，并写出A的逆矩阵；
（2）若向量，试计算M⁵⁰β．
[2]已知是定义在区间[-1，1]上的函数，设x₁，x₂∈[-1，1]且x₁≠x₂．
（1）求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）若a²+b²=1，求证：．

19. 难度：中等

的展开式中各项的二项式系数之和为256．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中含x⁶的项；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．

20. 难度：中等

一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的7个小球，且每个小球的球面上要么只写有数字“2010”，要么只写有文字“世博会”．假定每个小球每一次被取出的机会都相同，又知从中摸出2个球都写着“世博会”的概率是．现甲、乙两个小朋友做游戏，方法是：不放回从口袋中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到两个小朋友中有一人取得写着文字“世博会”的球时游戏终止．
（1）求该口袋内装有写着数字“2010”的球的个数；
（2）求当游戏终止时总球次数ξ的概率分布列和期望Eξ．

21. 难度：中等

某出版公司为一本畅销书定价如下：C（n）=这里n表示定购书的数量，C（n）表示定购n本所付的钱数（单位：元）．
（1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花钱少？
（2）若一本书的成本价是5元，现在甲、乙两人来买书（甲、乙不合买），每人至少买1本，甲买的书不多于乙买的书，两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱？最多能赚多少钱？

22. 难度：中等

一个口袋中装有n个红球（n≥4且n∈N）和5个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖．
（Ⅰ）若一次摸两个球，试用n表示一次摸球中奖的概率p；
（Ⅱ）若一次摸一个球，当n=4时，求二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？

23. 难度：中等

（1）已知实数集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，证明：A=B的充要条件是；
（2）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B={x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，问是A=B的什么条件？请给出说明过程；

24. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1（ k为正整数），其中a₁=16．设正整数数列{b_n}满足：，当n≥2时，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项；
（Ⅲ）记，证明：对任意n∈N^*，．