2011年高考数学综合复习试卷（1）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知，当x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1时，总有．
（1）求m的值；
（2）设数列a_n满足，求a_n的通项公式．

2. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0；
（2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：；
（3）若函数f（x）有两非整数零点，且这两零点在相邻两整数之间，试证明：存在整数k，使得．

3. 难度：中等

设a_n是集合2^s+2^t|0≤s＜t，s，t∈Z中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，将数列a_n各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：
（1）写出这个三角形数表的第五行的各数；
（2）求a₁₀₀（可用2^s+2^t的形式表示）；
（3）设b_n（n∈N*）是这个三角形数表第n行各数的和，求数列b_n的前n项和S_n．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=2x-a（a∈N^*、x∈R），数列a_n满足a₁=-a，a_n+1-a_n=f（n）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）当a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项时，求a的值；
（3）若数列b_n满足对∀n∈N^*，都有b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n+1成立，求数列{b_n}中的最大项．

5. 难度：中等

某种电子玩具按下按健后，会出现红球和绿球．已知按键第一按下后，出现红球和绿球的概率都是，从按键第二按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是、；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是、．记第n（n∈N*）次按下按键后出现红球的概率为p_n．
（1）求p₂；
（2）n≥2时，求p_n．

6. 难度：中等

设函数f（x）=x³-6x²+2．
（1）当x∈[-a，a]（a＞0）时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=|f（x）-k|（x∈[0，6]），用ϕ（k）表示g（x）的最大值，求ϕ（k）的解析式、ϕ（k）的最小值及相应的k的值．

7. 难度：中等

如图，已知三棱台ABC-A₁B₁C₁，等边三角形AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a．
（1）求点A到面B₁BCC₁的距离；
（2）求二面角A-B₁B-C的余弦值；
（3）设，|MA₁|=x，|CC₁|=y，试将y表示为x的函数．

8. 难度：中等

已知数列a_n，a₁、a₂、…、a₁₀是首项为1公差为1的等差数列，a₁₀、a₁₁、…、a₂₀是公差为d（d≠0）的等差数列，a₂₀、a₂₁、…、a₃₀是公差为d²的等差数列，…．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）求a₃₀的取值范围；
（3）设k∈N^*，求数列a_n前10k项的和S．

9. 难度：中等

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；
（3）比较与、与的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0是常数．
（1）判断函数在定义域上的单调性；
（2）对∀n∈N^*，不等式恒成立，求常数p的取值范围．