2010年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1+i
B．-1-i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

已知全集U={x∈Z|1≤x≤9}，A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．{1}
B．{1，3}
C．{1，9}
D．{1，3，5，7，9}

3. 难度：中等

若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形

4. 难度：中等

顶点为直角坐标原点，始边在x轴正半轴上的角α的终边经过点P（1，-2），则tan2α=（ ）
A．-2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知f（x）=ln（），则下列正确的是（ ）
A．非奇非偶函数，在（0，+∞）上为增函数
B．奇函数，在R上为增函数
C．非奇非偶函数，在（0，+∞）上为减函数
D．偶函数，在R上为减函数

6. 难度：中等

已知两个不同平面α，β和两条不同直线m，n，则使α∥β成立的一个充分条件是（ ）
A．m∥α，n∥β，m∥n
B．m∥α，m∥β
C．n⊥α，n⊥β
D．m⊥α，n⊥β

7. 难度：中等

已知点P在抛物线上，若点P到x轴的距离与点P到抛物线焦点F的距离之比为，则点P到焦点F的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C分别表示三角形的三个内角，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
①A＞B⇔cosA＞cosB；②A＞B⇔sinA＞sinB；③A＞B⇔tanA＞tanB；④A＞B⇔cos2A＜cos2B
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

一只蚂蚁在边长为2的等边三角形内部爬行，则某时刻该蚂蚁与三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知x＞1，y＞2，且xy=32，则的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

11. 难度：中等

如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值构成的集合为（ ）

A．{0，1}
B．{-1，1}
C．{0，1，3}
D．{-1，0，1，3}

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）是f（x）的导数．函数y=f′（x）的图象如图所示．若两个正数x，y满足f（x+y）＜1，则的取值范围是（ ）

A．（0，1）
B．[0，1）
C．[0，+∞）
D．（1，+∞）

二、解答题

13. 难度：中等

已知圆M：（x-a）²+（y-2）²=4以及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆M截得的弦长为4时，a的值等于    ．

14. 难度：中等

若A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为    ．

15. 难度：中等

随机抽取某学校甲、乙两班各十名同学的一模数学成绩，获得数学成绩的得分情况的茎叶图（如图），则根据茎叶图可知一模数学平均成绩较高的班级是    ．

16. 难度：中等

若f（n）表示n²-2n+2（n∈N₊）的各位上的数字之和，例如14²-2×14+2=170，1+7+0=8，所以f（14）=8．设f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[（f₁（n）]，…，f_k+1（n）=f[（f_k（n）]（k∈N₊），则f₂₀₁₀（17）=    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

18. 难度：中等

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）D是棱A₁C₁上的一点，若使直线BC₁∥平面AB₁D，试确定点D的位置，并证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，求证：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

19. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C为三角形的三个内角，且满足条件sin（C-A）=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，方片3，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（Ⅰ）写出甲乙二人抽到的牌的所有结果；（例如甲抽到红桃2，乙抽到方块3，可记作（红2，方3））
（Ⅱ）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若乙抽到的牌的牌面数字比甲大，则乙胜，若甲、乙抽到的牌的牌面数字相同，则重新进行游戏；你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

21. 难度：中等

已知圆C₁的方程为（x-4）²+（y-1）²=，椭圆C₂的方程为，其离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）如果椭圆C₂的左右焦点分别是F₁、F₂，椭圆上是否存在点P，使得，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．