2013届江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集，且，，则        

2. 难度：中等

复数的虚部为             

3. 难度：中等

求值：          

4. 难度：中等

已知复数满足，则        

5. 难度：中等

已知，若，则实数的取值范围是      

6. 难度：中等

已知是奇函数，则实数          

7. 难度：中等

已知函数，则                。

8. 难度：中等

已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是            。

9. 难度：中等

下列命题中，①，； ②，； ③，，； ④，，，其中真命题的序号是            

10. 难度：中等

已知函数在上单调递增，则    （填写“<”，“=”，“>”之一） 

11. 难度：中等

已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，，且的最大值为1，则满足的解集为       

12. 难度：中等

如图，直角梯形OABC位于直线右侧的图形面积为，则函数       ．

13. 难度：中等

试通过圆和球的类比，由“半径为R的圆内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为”，猜测关于球的相应命题由                             。

14. 难度：中等

已知函数（）在上恒正，则实数a的取值范围为          ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知复数是纯虚数。            （1）求的值；

（2）若复数，满足，求的最大值。

16. 难度：中等

已知集合函数的定义域为集合B。 （1）若，求集合；

（2）已知是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围。

17. 难度：中等

如图所示，已知长方体中，，是棱上的点，且。

（1）求的长；

（2）求证：平面；

（3）求与平面所成角的正弦值。

18. 难度：中等

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，点是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

19. 难度：中等

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.

（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？

（2）在（1）的条件下，当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

20. 难度：中等

已知集合是满足下列性质函数的的全体，在定义域内存在，使得成立。（1）函数，是否属于集合？分别说明理由。（2）若函数属于集合，求实数的取值范围。

21. 难度：中等

设，，函数，

（1）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；

（2）若对任意，都有成立，试求时，的值域；

（3）设 ，求的最小值．