2013届吉林省长春市高二下期中理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则（     ）

A.            B.               C. 1                D. 2

2. 难度：中等

下列命题错误的是(      )

       A．对于命题p：

       B．命题“若”是正确的

       C．若p是假命题，则均为假命题

       D．“”是“”的充分不必要条件

3. 难度：中等

.右图是计算函数值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是(     )

  A．   B．

  C．   D．

4. 难度：中等

下列命题中，真命题是（     ）

A．若直线m、n都平行于，则

B．设是直二面角，若直线则

C．若在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或

D．若直线m、n是异面直线，，则n与相交

5. 难度：中等

.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（    ）

        

         （1）              （2）          （3）           （4）

A．（1）（2）      B．（1）（3） 　   C．（2）（4）      D．（2）（3）

6. 难度：中等

设，则（    ）

A.             B.             C.              D.

7. 难度：中等

.将函数的图象向左平移0 ＜2的单位后,得到函数的图象,则等于 (     )

A.              B.            C.            D.

8. 难度：中等

若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则等于（    ）

A．             B.              C.             D.

9. 难度：中等

.若，则等于（    ）

A.              B.             C.              D.

10. 难度：中等

若(1－2x)²⁰¹²＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₂₀₁₁x²⁰¹¹＋a₂₀₁₂x²⁰¹²(x∈R)，则(a₀＋a₁)＋(a₀＋a₂)＋(a₀＋a₃)＋…＋(a₀＋a₂₀₁₀)＋(a₀＋a₂₀₁₁) ＋(a₀＋a₂₀₁₂)＝（     ）

A．2009            B.2010          C.2011           D. 2012

11. 难度：中等

从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为(     )

  A．208               B．204                                   C．200               D．196

12. 难度：中等

.设动点到点和的距离分别为和， ，且存在常数，使得．（如图所示）那么点的轨迹是（     ）

A. 圆      B. 椭圆      C. 双曲线      D. 抛物线

二、填空题

13. 难度：中等

函数在上单调递增，则实数a的取值范围是        .

14. 难度：中等

.已知点是区域内的任意一点，那么点满足条件的概率是                   .

15. 难度：中等

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，这样的数称为“正方形数”.如图可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为       （填序号）

①13=3+10；                   ②25=9+16；

③36=15+21；                ④49=18+31；

⑤64=28+36

16. 难度：中等

双曲线的渐近线夹角为，则cos的值为_____________

17. 难度：中等

形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为          .

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为             .

三、解答题

19. 难度：中等

已知数列是等差数列，首项，公差，设数列，

（1）求证：数列是等比数列；

（2）有无最大项，若有，求出最大值；若没有，说明理由.

20. 难度：中等

.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.

（1）求四棱锥S-ABCD的体积；

（2）求证：面SAB⊥面SBC；

（3）求二面角的正切值.

21. 难度：中等

.某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.

组号	分组	频数	频率
第1组		5	0.050
第2组		①	0.350
第3组		30	②
第4组		20	0.200
第5组		10	0.100
合计	100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）若高校决定在上述抽出的6名学生中，只录取两名学生，设为这两名学生来自第3组的人数，求的分布列.

22. 难度：中等

已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程.

23. 难度：中等

.已知函数． 

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数．是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．