2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算：=       （i为虚数单位）.

2. 难度：中等

若集合，，则=          .

3. 难度：中等

函数的值域是          .

4. 难度：中等

若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为          （结果用反三角函数值表示）.

5. 难度：中等

在的二项展开式中，常数项等于           .

6. 难度：中等

有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为

V₁,V₂,…,V_n,…，则          .

7. 难度：中等

已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是          .

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8. 难度：中等

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为          .

9. 难度：中等

已知是奇函数，且.若，则        .

10. 难度：中等

如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则          .

 

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11. 难度：中等

三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有

两人选择的项目完全相同的概率是      （结果用最简分数表示）.

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是          .

13. 难度：中等

已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).

函数的图像与x轴围成的图形的面积为        .

14. 难度：中等

如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是           .

二、选择题

15. 难度：中等

若是关于x的实系数方程的一个复数根，则              （    ）

   （A）.  （B）. （C）.（D）.

16. 难度：中等

在中，若，则的形状是（    ）

   （A）锐角三角形.   （B）直角三角形.   （C）钝角三角形.   （D）不能确定.

17. 难度：中等

设，. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2.

若记、分别为、的方差，则                      （    ）

   （A）＞.  （B）＝.  （C）＜.

   （D）与的大小关系与、、、的取值有关.

18. 难度：中等

设，. 在中，正数的个数是      （    ）

   （A）25.           （B）50.           （C）75.           （D）100.

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三、解答题

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，

PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，

AD=2，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；（6分）

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

20. 难度：中等

已知函数.

    （1）若，求的取值范围；（6分）

    （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数

的反函数.（8分）

21. 难度：中等

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海

里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.

    （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

    （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知双曲线.

    （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成

的三角形的面积；（4分）

    （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：

OP⊥OQ；（6分）

    （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，

求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

23. 难度：中等

对于数集，其中，，定义向量集

. 若对于任意，存在，使得，则称X

具有性质P. 例如具有性质P.

    （1）若x＞2，且，求x的值；（4分）

    （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当x_n＞1时，x₁=1；（6分）

    （3）若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），求有穷数列的通

项公式.（8分）