2012年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则  ▲  ．

2. 难度：简单

某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取  ▲  名学生．

3. 难度：简单

设，（i为虚数单位），则的值为  ▲  ．

4. 难度：简单

下图是一个算法流程图，则输出的k的值是  ▲  ．

5. 难度：简单

函数的定义域为  ▲  ．

6. 难度：简单

现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是  ▲  ．

7. 难度：中等

如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为  ▲  cm³．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为  ▲  ．

9. 难度：困难

如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是  ▲  ．

10. 难度：困难

设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，

其中．若，

则的值为  ▲  ．

11. 难度：困难

设为锐角，若，则的值为  ▲  ．

12. 难度：困难

在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上

至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是  ▲  ．

13. 难度：简单

已知函数的值域为，若关于x的不等式

的解集为，则实数c的值为  ▲  ．

14. 难度：简单

已知正数满足：则的取值范围是

  ▲  ．

二、解答题

15. 难度：简单

在中，已知．

（1）求证：；

（2）若求A的值．

16. 难度：简单

如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．

求证：（1）平面平面；

        （2）直线平面．

17. 难度：中等

如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

18. 难度：困难

若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

19. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：是定值．

20. 难度：困难

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

21. 难度：困难

如图，是圆的直径，为圆上位于

异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．

求证：．

22. 难度：困难

已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值．

23. 难度：困难

在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

24. 难度：困难

已知实数x，y满足：求证：．

25. 难度：困难

设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．

  （1）求概率；

  （2）求的分布列，并求其数学期望．

26. 难度：困难

设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：

①；②若，则；③若，则。

（1）求；

（2）求的解析式（用表示）．