1. 难度:简单 | |
函数的最小正周期是 .
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2. 难度:简单 | |
二项式的展开式中的常数项是 .(请用数值作答)
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3. 难度:简单 | |
函数的定义域是 .
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4. 难度:简单 | |
设与是两个不共线的向量,已知,,,则当三点共线时, .
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5. 难度:简单 | |
已知各项均为正数的无穷等比数列中,,,则此数列的各项和 .
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6. 难度:简单 | |
已知直线的方程为,点与点关于直线对称,则点的坐标为 .
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7. 难度:中等 | |
如图,该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 .
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8. 难度:中等 | |
若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点的坐标为,则该双曲线的标准方程为 .
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9. 难度:困难 | |
如图,需在一张纸上印上两幅大小完全相同,面积都是32cm2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm,上下留空各2.5cm,图间留空为1cm .照此设计,则这张纸的最小面积是____________cm2.
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10. 难度:困难 | |
给出问题:已知满足,试判定的形状.某学生的解答如下: 【解析】 , , , 故是直角三角形. (ii)设外接圆半径为.由正弦定理可得,原式等价于 , 故是等腰三角形. 综上可知,是等腰直角三角形. 请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. .
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11. 难度:困难 | |
已知数列是等比数列,其前项和为.若,,则 .
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12. 难度:困难 | |
若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此球的体积为 .
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13. 难度:简单 | |
用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为的个小正方形(如右图),需满足任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中,恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色,“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .
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14. 难度:简单 | |
设,表示关于的不等式的正整数解的个数,则数列的通项公式 .
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15. 难度:中等 | |
“成等差数列”是“”成立的 ( ) A.充分非必要条件; B.必要非充分条件; C.充要条件; D.既非充分也非必要条件.
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16. 难度:中等 | |
设是直线的倾斜角,且,则的值为 ( ) A. ; B. ; C. ; D. .
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17. 难度:简单 | |
设全集为,集合,,则集合可表示为( ) A. ; B. ; C. ; D.
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18. 难度:简单 | |
对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( ) A.若,则; B. 若则; C. 若,则; D. 若则.
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19. 难度:中等 | |
已知函数,的图像分别与轴、轴交于、两点,且,函数. 当满足不等式时,求函数的最小值.[ 【解析】本试题主要考察了函数与向量的综合运用。根据已知条件得到
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20. 难度:困难 | |
如图,已知圆锥体的侧面积为,底面半径和互相垂直,且,是母线的中点. (1)求圆锥体的体积; (2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示). 【解析】本试题主要考查了圆锥的体积和异面直线的所成的角的大小的求解。 第一问中,由题意,得,故 从而体积.2中取OB中点H,联结PH,AH. 由P是SB的中点知PH//SO,则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角. 由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.在OAH中,由OAOB得; 在中,,PH=1/2SB=2,, 则,所以异面直线SO与P成角的大arctan 【解析】 故从而体积. (2)如图2,取OB中点H,联结PH,AH. 由P是SB的中点知PH//SO,则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角. 由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH. 在OAH中,由OAOB得; 在中,,PH=1/2SB=2,, 则,所以异面直线SO与P成角的大arctan
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21. 难度:困难 | |
已知中,,.设,记. (1) 求的解析式及定义域; (2)设,是否存在实数,使函数的值域为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【解析】第一问利用(1)如图,在中,由,, 可得, 又AC=2,故由正弦定理得
(2)中 由可得.显然,,则 1当m>0的值域为m+1=3/2,n=1/2 2当m<0,不满足的值域为; 因而存在实数m=1/2的值域为.
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22. 难度:困难 | |
已知数列是首项为的等比数列,且满足. (1) 求常数的值和数列的通项公式; (2) 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……,余下的项按原来的顺序组成一个新的数列,试写出数列的通项公式; (3) 在(2)的条件下,设数列的前项和为.是否存在正整数,使得?若存在,试求所有满足条件的正整数的值;若不存在,请说明理由. 【解析】第一问中【解析】 又因为存在常数p使得数列为等比数列, 则即,所以p=1 故数列为首项是2,公比为2的等比数列,即. 此时也满足,则所求常数的值为1且 第二问中,【解析】 (i)当时,; (ii) 当时,, 所以 第三问假设存在正整数n满足条件,则, 则(i)当时, ,
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23. 难度:困难 | |
设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点(). (1) 当时,试写出抛物线上的三个定点、、的坐标,从而使得 ; (2)当时,若, 求证:; (3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即: “若,则.” 开展了研究并发现其为假命题. 请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究: ① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分); ② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分); ③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分). 【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分. 【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设, 分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为. 由抛物线定义得到 第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为. 由抛物线定义得 第三问中①取时,抛物线的焦点为, 设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得 , 则,不妨取;;; 【解析】 分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
因为,所以, 故可取满足条件. (2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为. 由抛物线定义得 又因为 ; 所以. (3) ①取时,抛物线的焦点为, 设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得 , 则,不妨取;;;, 则, . 故,,,是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一) ② 设,分别过作 抛物线的准线的垂线,垂足分别为, 由及抛物线的定义得 ,即. 因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则 , 而,所以. (说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.) ③ 补充条件1:“点的纵坐标()满足 ”,即: “当时,若,且点的纵坐标()满足,则”.此命题为真.事实上,设, 分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由, 及抛物线的定义得,即,则 , 又由,所以,故命题为真. 补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即: “当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)
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