2011-2012学年江西省南昌市高三第二次模拟测试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，且为纯虚数，则a等于

A、      B、―      C、1      D、―1

2. 难度：中等

已知命题p：函数¦(x)=|x―a|在(1,+∞)上是增函数，命题q：¦(x)=a^x (a>0且a≠1)是减函数，则p是q的

A、必要不充分条件   B、充分不必要条件

C、充要条件         D、既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若集合A={y|y=x²―2x―1,x∈R}，B={y|y=x+,x∈R且x≠0}，则(ð_RB)∩A=

A、(―2,2]      B、[―2,2)      C、[―2,+∞)      D、(―2,2)

4. 难度：中等

若0<a<b<1<c，m=log_ac，n=log_bc，r=a^c，则m,n,r的大小关系是

A、m<n<r      B、m<r<n      C、r<m<n      D、n<m<r

5. 难度：中等

已知cos(x―)=― ，则cosx+cos(x―)的值是

A、―      B、±     C、―1      D、±1

6. 难度：中等

若对任意实数x，有¦(―x)=―¦(x)，g(―x)=g(x)，且x>0时¦′ (x)>0，g′ (x)>0，则x<0时

A、¦′(x)>0，g′ (x)>0   B、¦′(x)>0，g′ (x)<0

C、¦′(x)<0，g′ (x)>0   D、¦′(x)<0，g′ (x)<0

7. 难度：中等

某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往南昌，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车调配。每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为

A、2000元      B、2200元      C、2400元      D、2800元

8. 难度：中等

定义在某种运算，运算原理如右图所示，则式子的值为

A、13      B、11      C、8      D、4

9. 难度：中等

若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有

A、120个      B、80个      C、40个      D、20个

10. 难度：中等

下图展示了一个由区间(―π，π)到实数集R的映射过程：区间(―π，π)中的实数x对应轴上的点M（如图1）：将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在x轴上，点A的坐标为(1,0)（如图3），图3中直线OM的斜率为k，则x的象就是k，记作k=¦(x).有下列判断(1)¦(x)是奇函数；(2) ¦(x)是存在3个极值点的函数；(3) ¦(x)的值域是[―，]；

(4) ¦(x)是区间(―π，π)上的增函数。其中正确的是

A、(1)(2)      B、(1)(3)      C、(2)(3)      D、(1)(4)

二、填空题

11. 难度：中等

若AD是三角形ABC的中线，且||=6，||=6，||=，则边BC的长是     .

12. 难度：中等

某几何体的三视图如右图所示，若该几何体各顶点都在一球面上，则这个球的表面积为       .

13. 难度：中等

已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1．8]=1，[―1.2]=―2．x₀是函数¦(x)=lnx―的零点，则[x₀]等于     .

14. 难度：中等

已知椭圆+ =1(a>b>c>0,a²=b²+c²)的左右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b―c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值为(a―c)，则椭圆的离心率e的取值范围是             .

15. 难度：中等

（不等式选讲选做题）不等式|2x+1|―|x―4|>2的解集是           .

16. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆r=2cosq的圆心到直线rsinq+2rcosq=1的距离是           .

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数¦(x)=2―sin(2x+)―2sin²x，x∈[0,]

(1)求函数¦(x)的值域；

(2)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若¦()=1，b=1，c=，求a的值

18. 难度：中等

（本小题满分12分）某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响。预计明年雨水正常的概率为 ，雨水偏少的概率为。若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为；若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为.

(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；

(2)在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司为不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，预计每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？

19. 难度：中等

（本小题满分12分）如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别是边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD =2AE =2AB = 4AF= 4，将四边形EFCD沿EF折起使AE=AD.

(1)求证：AF∥平面CBD；

(2)求平面CBD与平面ABFE夹角的余弦值.

20. 难度：中等

（本小题满分12分）函数f(x)=ax²－2(a－1)x－2lnx ,a>0

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)对于函数图像上的不同两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，如果在函数图像上存在点P(x₀,y₀)（其中x₀在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l平行于直线AB，则称AB存在“伴随切线”，当x₀=  时，又称AB存在“中值伴随切线”.试问：在函数f(x)的图像上是否存在不同两点A,B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A,B的坐标；若不存在，说明理由

21. 难度：中等

（本小题满分13分）等差数列{a_n}中，公差d≠0，已知数列是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25.

（1）求数列{k_n}的通项；

（2）若a₁=9，设b_n= +，S_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+ b_n²， T_n= + + +…+，试判断数列{S_n+T_n}前100项中有多少项是能被4整除的整数。

22. 难度：中等

（本小题满分14分）

(1)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若m+n=s+t(m,n,s,t∈N^*，且m≠n,s≠t)，证明；= ；

(2)注意到(1)中S_n与n的函数关系，我们得到命题：设抛物线x²=2py(p>0)的图像上有不同的四点A，B，C，D，若x_A，x_B，x_C，x_D分别是这四点的横坐标，且x_A+x_B=x_C+x_D，则AB∥CD，判定这个命题的真假，并证明你的结论

(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线，根据(2)中的结论，对椭圆+ =1(a>b>0)提出一个有深度的结论，并证明之.