2011-2012学年四川省成都市模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知，其中i 是虚数单位，则实数a =（    ）

                        A．－2            B．－1                C．1          D．2

2. 难度：简单

已知sin（）=，则（）的值等于(     )

A、                 B、               C、             D、

3. 难度：简单

设{}为递增等比数列，和是方程4x²—8x+3=0的两根，则=(    )

  A、 9                B、10               C、               D、25

4. 难度：简单

设为△的重心，且，则的大小为(    )

A． 45⁰              B． 60⁰             C．30⁰              D． 15⁰

5. 难度：简单

设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为(     )                                                  

                        A．　           B．2　              C．4　          D．

6. 难度：简单

下面四个命题：

①“直线a∥直线b”的充分条件是“直线a平行于直线b所在的平面”；

②“直线l平面”的充要条件是“直线l平面内无数条直线”；

③“直线a、b不相交”的必要不充分条件是“直线a、b为异面直线”；

④“平面∥平面”的必要不充分条件是“平面内存在不共线三点到平面的距离相等”．其中正确命题的序号是(     )

  A、.①②              B、②③             C、③④             D、④

7. 难度：中等

设f (x)=|2－x²|，若0＜a＜b且f (a)=f (b)，则a+b的取值范围是（     ）

   A．(0，2)            B．(, 2)        C．(2,4)            D．(2，2)

8. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，且的最大值为14，则k=(   )

A、1                    B、2                C、23               D、

9. 难度：困难

已知F₁,F₂是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，记线段PF₁与轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于(    )

A．              B．         C．         D．

10. 难度：困难

某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2014级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“民乐社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为(    )

A. 72                     B. 108              C. 180               D. 216

11. 难度：困难

已知为常数，函数的图象关于对称，函数()在上连续，则常数=(    )

A、0                  B、2                 C、3                   D、4

12. 难度：困难

函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数。如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是(    )

A.        B.        C.       D.

二、填空题

13. 难度：简单

若的二项展开式中的系数是x的系数的8倍，则=       ．

14. 难度：简单

P、A、B、C是球面O上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA = PB= PC = 1，则球的表面积为      .

15. 难度：中等

两定点的坐标分别为，，动点满足条件，动点的轨迹方程是                  .

16. 难度：中等

给出下列4个命题：      .                   /

①是在区间上为单调减函数的充要条件

②函数（e是自然对数的底数）的最小值为2.

③与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线y=x 上_；

④若,则；

其中所有假命题的代号有___________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数的图像上两相邻最高点的坐标分别为和．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且求的取值范围．

【解析】本试题主要考查了三角函数的图像与性质的综合运用。

第一问中，利用所以由题意知：，；第二问中，，即，又，

则，解得，

所以

结合正弦定理和三角函数值域得到。

【解析】
（Ⅰ），

所以由题意知：，；

（Ⅱ），即，又，

则，解得，

所以

因为，所以，所以

18. 难度：简单

学校要用三辆车从北湖校区把教师接到文庙校区，已知从北湖校区到文庙校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。（I）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望。

【解析】第一问中，由已知条件结合n此独立重复试验的概率公式可知，得

第二问中可能的取值为0，1，2，3  ，       

 ， 

从而得到分布列和期望值

【解析】
（I）由已知条件得 ，即，则的值为。

 （Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3  ，       

 ， 

   的分布列为：（1分）

	0	1	2	3

所以 

19. 难度：中等

如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为中点．（Ⅰ）求点B到平面的距离；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【解析】第一问中利用因为，为中点，所以

而平面平面，所以平面，再由题设条件知道可以分别以、、为，， 轴建立直角坐标系得，，，，，，

故平面的法向量而，故点B到平面的距离

第二问中，由已知得平面的法向量，平面的法向量

故二面角的余弦值等于

【解析】
（Ⅰ）因为，为中点，所以

而平面平面，所以平面，

  再由题设条件知道可以分别以、、为，， 轴建立直角坐标系，得，，，，

，，故平面的法向量

而，故点B到平面的距离

（Ⅱ）由已知得平面的法向量，平面的法向量

故二面角的余弦值等于

20. 难度：困难

已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

第二问中，∵，，      

∴原不等式等价于：,

即, 亦即

分离参数的思想求解参数的范围

【解析】
（Ⅰ)当时，，．

当在上变化时，，的变化情况如下表：

		－		＋
					1／e

∴时，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等价于：,

即, 亦即．

∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范围是

21. 难度：困难

，，为常数，离心率为的双曲线：上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线：的焦点与双曲线的一顶点重合。(Ⅰ)求抛物线的方程；（Ⅱ）过直线：（为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为、，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围。

【解析】第一问中利用由已知易得双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为，所以抛物线的方程

第二问中，为，，，

故直线的方程为，即，

所以，同理可得：

借助于根与系数的关系得到即，是方程的两个不同的根，所以

由已知易得，即

【解析】
(Ⅰ)由已知易得双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为，所以抛物线的方程

（Ⅱ）设为，，，

故直线的方程为，即，

所以，同理可得：，

即，是方程的两个不同的根，所以

由已知易得，即

22. 难度：困难

已知数列满足（I）求数列的通项公式；

（II）若数列中，前项和为，且证明：

【解析】第一问中，利用，

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即 

第二问中， 

进一步得到得    即

即是等差数列.

然后结合公式求解。

【解析】
（I）  解法二、，

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差数列.