2011-2012学年上海市闸北区高考二模测试文科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

设复数满足，其中为虚数单位，则         ．

2. 难度：简单

计算         ．

3. 难度：简单

设，则          ．

4. 难度：简单

若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数的取值范围为          ．

5. 难度：简单

的二项展开式中，的系数是___________（用数字作答）．

6. 难度：简单

从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127． 则该样本的标准差         克．                        

7. 难度：中等

若实数，满足不等式组则的最大值是        ．

8. 难度：中等

设定点、，动点满足：，则动点的轨迹方程为        ．

9. 难度：困难

从5名男同学、4名女同学中任意选4名同学组成一个课外活动小组，则该活动小组男、女同学都有的概率为        .

10. 难度：困难

设直线与平面相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是        ．

①在平面内有且只有一条直线与直线垂直；

②与直线平行的直线不可能与平面垂直；

③与直线垂直的直线不可能与平面平行；

④与直线平行的平面不可能与平面垂直．

11. 难度：困难

若关于的不等式的解集为，则的取值范围为      ．

12. 难度：困难

某城区从某年开始的绿化总面积（万平方米）与时间（年）的关系为．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为       年．（四舍五入取整）

13. 难度：简单

若对任意实数恒成立，则实数的取值范围为        ．

14. 难度：简单

对于任意的平面向量，定义新运算：．若为平面向量，，则下列运算性质一定成立的所有序号是        ．

①；             ②；

③；   ④．

二、选择题

15. 难度：中等

圆关于直线对称的圆方程是（    ）

A．         B．  

C．         D．

16. 难度：中等

设函数的图像关于轴对称，又已知在上为减函数，且，则不等式的解集为（    ）

A．             B．

C．          D．

17. 难度：简单

将若干水倒入底面半径为的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是（    ）

A．       B．        C．     D．

18. 难度：简单

设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为（    ）

A．      B．        C．     D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在正四棱锥中，．

（1）求该正四棱锥的体积；

（2）设为侧棱的中点，求异面直线与

所成角的大小．

【解析】第一问利用设为底面正方形中心，则为该正四棱锥的高由已知，可求得，

所以，

第二问设为中点，连结、，

可求得，，，

在中，由余弦定理，得

．

所以，

20. 难度：困难

已知函数，．

（1）设是函数的一个零点，求的值；

（2）求函数的单调递增区间．

【解析】第一问利用题设知．因为是函数的一个零点，所以即（

所以

第二问

当，即（）时，

函数是增函数，

故函数的单调递增区间是（）

21. 难度：困难

一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每小时通过管道向所管辖区域供水千吨．

（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？

（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？

【解析】第一问中（1）设小时后，蓄水池有水千吨．依题意，当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨

第二问依题意，   解得：

【解析】
（1）设小时后，蓄水池有水千吨．………………………………………1分

依题意，…………………………………………4分

当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨． ………2分

（2）依题意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，当天有8小时会出现供水紧张的情况

22. 难度：困难

设椭圆（常数）的左右焦点分别为，是直线上的两个动点，．

（1）若，求的值；

（2）求的最小值．

【解析】第一问中【解析】
设，则

由得    由，得

  ② 

第二问易求椭圆的标准方程为：

，

所以，当且仅当或时，取最小值．

【解析】
设， ……………………1分

则，由得     ①……2分

（1）由，得  ②   ……………1分

    ③    ………………………1分

由①、②、③三式，消去，并求得． ………………………3分

（2）解法一：易求椭圆的标准方程为：．………………2分

， ……4分

所以，当且仅当或时，取最小值．…2分

解法二：， ………………4分

所以，当且仅当或时，取最小值

23. 难度：困难

如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；

（2）求证：（）；

（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用有，得到

第二问证明：①当时，可求得，命题成立；②假设当时，命题成立，即有则当时，由归纳假设及，

得

第三问 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

【解析】
（1）依题意，有，，………………4分

（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ……………2分

②假设当时，命题成立，即有，……………………1分

则当时，由归纳假设及，

得．

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立．  …………………………………………4分

综上所述，对所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

．……………2分

由题意，有． 所以，