2013届福建师大附中高二下学期期中理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（    ）

                    A．1-i              B．1+i              C．-1+i       D．i

2. 难度：中等

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个偶数”正确的反设为（    ）

A．，，中至少有两个偶数    B．，，中至少有两个偶数或都是奇数

C．，，都是奇数            D．，，都是偶数

3. 难度：中等

已知向量，且与互相垂直，则的值是（   ）

A．       B．          C．           D．

4. 难度：中等

5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （     ）

A．10种     B．20种        C．25种       D．32种

5. 难度：中等

观察(x²)＇=2x,(x⁴)＇=4x³,(cosx)＇= -sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于（   ）

A．f(x)      B．-f(x)       C．g(x)       D．-g(x)

6. 难度：中等

若函数，则等于（      ）

A.     B.        C.    D.

7. 难度：中等

若空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，点E为边BC的中点，则（   ）

A．2           B．4          C．6        D．8

8. 难度：中等

如图，在三棱锥A—BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=2，点E为BC的中点，若直线AE与底面BCD所成的角为45^O，则三棱锥A—BCD的体积等于 (    )

A．         B．        C．         D．2    

9. 难度：中等

设函数则 (    )

A．在区间内均有零点；

B．在区间内无零点，在区间内有零点．

C．在区间内有零点，在区间内无零点；

D．  在区间内均无零点；

10. 难度：中等

如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，又已知米，则甲乙两人相距（  ）米.

A. 50       B.       C. 60      D. 70

11. 难度：中等

某中学一天的功课表有6节课 , 其中上午4节, 下午2节, 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有(    ) ．

 A. 600种        B. 480种         C. 408种         D. 384种

12. 难度：中等

如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：

①若，对于内的任意实数（），恒成立；

②函数是奇函数的充要条件是；

③若，，则方程必有3个实数根；

④，的导函数有两个零点；

其中所有正确结论的序号是(    )．

A、①②      B、①②③      

C、①④       D、②③④

二、填空题

13. 难度：中等

 等于              .

14. 难度：中等

设复数，，则的最大值为            .

15. 难度：中等

若向量，，则以OA、OB为相邻两边的平行四边形的面积为                      .

16. 难度：中等

用1，2，3，4，5组成五位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的五位数的个数是              （用数字作答) .

17. 难度：中等

设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为                 .

18. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题,如图所示,同一个平面内有两个边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为     .

19. 难度：中等

观察下表

据此你可猜想出的第n行是_____________

三、解答题

20. 难度：中等

（本小题满分10分） 当时， ，

．

（Ⅰ）求，，，；

（Ⅱ）猜想与的大小关系，并用数学归纳法证明．

21. 难度：中等

（本小题满分12分）如图，平面，四边形是正方形， ，点、、分别为线段、和的中点.

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

(本小题满分12分) 如图所示，等腰△ABC的底边AB=,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.

（Ⅰ）求V(x)的表达式；   

（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？

23. 难度：中等

(本小题满分14分)  设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

24. 难度：中等

(本小题满分14分)  设函数.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；

（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．