2013届江苏省无锡市高二下期中理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知为虚数单位，则的实部为_____________．

2. 难度：中等

已知向量与垂直，则实数的值为_____________．

3. 难度：中等

四个数可组成________________无重复数字的不同的四位数（以数字作答）．

4. 难度：中等

计算：_______________（以数字作答）．

5. 难度：中等

已知，，则下列有关与的大小关系表述正确的是______

①；     ②；     ③（填正确的序号）．

6. 难度：中等

已知，则_______（以数字作答）．

7. 难度：中等

建造一个花坛，花坛分为4个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____________种（以数字作答）．

8. 难度：中等

2名女生和4名男生从左到右排成一排，2名女生不相邻且女生甲始终排在女生乙的左边的不同排法有______________种（以数字作答）．

9. 难度：中等

的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则含的项是_________．

10. 难度：中等

已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为_____________．

11. 难度：中等

除以9以后的余数为___________________．

12. 难度：中等

已知是实数，复数（为虚数单位），则的最小值为__________．

13. 难度：中等

某同学在研究二项式定理时发现：由可知，展开式是从每个括号中各取一个字母的一切可能乘积的和．它的每一项都具有的形式，其系数就是在的个括号中选个取的方法种数，故含项的系数是．请你根据该研究成果探索：展开式中含项的系数为_________（以数字作答）．

14. 难度：中等

某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，

表示非负实数的整数部分，例如

按此方案，第2012棵树种植点的坐标应为_________________．

二、解答题

15. 难度：中等

（本题满分15分）

已知复数满足（是虚数单位）

（1）求复数的虚部；

（2）若复数是纯虚数，求实数的值；

（3）若复数的共轭复数为，求复数的模．

16. 难度：中等

（本题满分15分）

    男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人外出比赛，

    分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）

（1）男3名，女2名；

（2）队长至少有1人参加；

（3）至少1名女运动员；

（4）既要有队长，又要有女运动员．

17. 难度：中等

（本题满分15分）（1）试计算下列各式：（只需写出计算结果，不需写出计算过程）

____________

____________

____________

（2）通过观察上述各式的计算规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明 

（参考公式：）

18. 难度：中等

（本题满分15分）已知正方体的棱长为1，点在上，点在上，且

（1）求直线与平面所成角的余弦值；

（2）用表示平面和侧面所成的锐二面角的大小，求；

（3）若分别在上，并满足，探索：当的重心为且时，求实数的取值范围．

19. 难度：中等

（本题满分15分）

把正整数按从小到大顺序排列成下列数表，数表中第行共有个正整数：

    设是位于数表中从上往下数第行、从左往右数第个数

（1）若，求的值；

（2）记，求数列的通项公式；

（3）猜想与的大小关系，并证明你的结论．

20. 难度：中等

（本题满分15分）

已知二项式

（1）若展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍，求的值；

（2）若为正偶数时，求证：为奇数．

（3）证明：