上海市长宁区2010届高三第二次模拟考试数学理

一、填空题

1. 难度：简单

设为虚数单位，则复数

2. 难度：简单

若函数的反函数的图像过点，则

3. 难度：简单

若向量的夹角为   ，，则

4. 难度：简单

执行右边的程序框图，若，则输出的S 

5. 难度：简单

函数图像的顶点是，且成

等比数列，则

6. 难度：简单

已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则

7. 难度：简单

函数的最大值为

8. 难度：简单

在中，，且，则的长为

9. 难度：简单

在等差数列{a_n}中，满足3a₄=7a₇，且a₁>0，S_n是数列{a_n}前n项的和，若S_n取得最大值，则n=          .

10. 难度：简单

已知圆的极坐标方程为，则该圆的面积为

11. 难度：简单

已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则

12. 难度：简单

棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，E、F分别是棱、的中点，则直线EF被球截得的线段长是__________.学

13. 难度：简单

根据统计资料，在小镇当某件讯息发布后，小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的﹪，其中是某个大于0的常数，今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。又设最快要小时后，有99﹪的人口已听到该讯息，则=小时。（保留一位小数）

14. 难度：简单

在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为

二、选择题

15. 难度：简单

不等式的解集是                           （      ）

A．　  　 B．　　　　 　C．　　　　D．

16. 难度：简单

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的                                     (       )

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件

C.充要条件              D.既不充分也不必要条件  

17. 难度：简单

设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为       (       ).   

A.    B.    C.     D.

18. 难度：简单

如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是                               （     ）

          

三、解答题

19. 难度：简单

（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝,点E是线段SD上任意一点。  

（1）求证：AC⊥BE；

（2）若二面角C-AE-D的大小为，求线段的长。

20. 难度：简单

（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（2）小题6分）

设数列中，若，则称数列为“凸数列”。

（1）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

（2）在“凸数列”中，求证：；

（3）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和。

21. 难度：简单

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡。. 

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

22. 难度：简单

（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）

已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。

（1）求椭圆方程；

（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

23. 难度：简单

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。

（1）求证：与的关系为；

（2）设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以首项为1，公比为的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设函数为上偶函数，当时，又函数图象关于直线对称， 当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围。