2020届内蒙古鄂尔多斯市高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

设是两个平面向量，则“”是“”的（　　）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

已知复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A. B. C. D.的虚部为

4. 难度：简单

已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（    ）

A.-15 B.-7 C.3 D.15

5. 难度：简单

九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（    ）

 

A.7 B.10 C.12 D.18

6. 难度：中等

若函数的大致图像如图所示，则的解析式可以为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，则的值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（　　）

   

A.10 B.6 C.7 D.16

9. 难度：中等

已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（    ）

A.2 B. C.4 D.

11. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，若平面内点满足，则的最大值为（    ）

A.7 B.6 C.5 D.4

12. 难度：困难

函数，若存在实数，使得方程有三个相异实根，则实数的范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数__________

14. 难度：中等

数列满足，且对于任意的都有，，则_______．

15. 难度：困难

在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．

16. 难度：中等

双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）若，的面积为，求，的值；

（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：

方案：由三部分组成

（表一）

底薪	150元
工作时间	6元/小时
行走路程	11元/公里

方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：

（表二）

行走路程 （公里）
人数	5	10	15	45	25

（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资（单位：元）与日行走路程（单位：公里）的函数关系

（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从，共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；

②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．

（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；

（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.

（1）求的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

设函数，.

（1）若，，求函数的单调区间；

（2）若曲线在点处的切线与直线平行.

①求，的值；

②求实数的取值范围，使得对恒成立.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），经过变换，得曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程.

（Ⅱ）若，为曲线上的动点，且，证明：为定值.

23. 难度：简单

已知函数，.

（Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数的取值范围；

（Ⅱ）设实数为（Ⅰ）中的最大值.若正实数，，满足，求的最小值.