2019届天津市高三第一次模拟（5月）数学（文科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

i是虚数单位，复数（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若实数x，y满足，则的最小值是（    ）

A.1 B. C.0 D.-1

3. 难度：简单

运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（    ）

A.3 B.-2 C.-3 D.2

4. 难度：简单

已知命题p：“”，命题q：“直线与圆相切”，则p是q的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

，，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

己知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（    ）

A.①③ B.①②③ C.②③ D.①②④

8. 难度：中等

已知函数，若，则的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

设集合，，若，则实数a取值范围是________.

10. 难度：简单

已知函数，则的极大值为________．

11. 难度：简单

长方体的三个相邻面的面积分别为1，2，2，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为________.

12. 难度：困难

已知数列满足：，，且，则数列的前13项和为________.

13. 难度：困难

已知向量，，且，若x，y均为正数，的最小值是________.

14. 难度：困难

在中，，，，若点O为的重心，则的值为________.

三、解答题

15. 难度：简单

已知某中学高三文科班学生的数学与语文的水平测试成绩抽样统计如下表：

数学（x） 人数 语文（y）	90分~100分 （数A）	80分~90分 （数B）	60分~80分 （数C）
90分~100分 （语A）	20	7	5
80分~90分 （语B）	18	9	6
60分~80分 （语C）	4	a	b

设x，y分别表示数学成绩与语文成绩，若抽取学生n人，成绩在90分~100分者记为A等级（优秀），成绩在80分~90分者记为B等级（良好），成绩在60分~80分者记为C等级（及格）.例如：表中数学成绩为A等级的共有人.已知x与y均为B等级的概率是0.09.

（1）若在该样本中，数学成绩良好率是30%，求a，b的值；

（2）在语文成绩为C等级的学生中，已知，，求数学成绩为B等级的人数比C等级的人数少的概率.

16. 难度：中等

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

（1）求角A的大小；

（2）若，，求b及的值.

17. 难度：困难

已知如图，矩形所在平面与底面垂直，在直角梯形中，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求与平面所成角的正弦值.

18. 难度：困难

已知数列满足：，，（其中p为非零常数，）

（1）判断数列是不是等比数列？

（2）求；

（3）当时，令，为数列的前n项和，求.

19. 难度：困难

已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，若的面积为，求直线l与y轴交点的坐标.

20. 难度：困难

设函数，.

（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3），求函数在区间上的最小值.