2020届湖南省长沙市高三月考卷（七）理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

函数的图像可能是（    ）．

A.  B.

C.  D.

4. 难度：简单

的展开式中，项的系数（    ）

A.20 B.30 C. D.

5. 难度：简单

2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

如图所示的程序框图，则输出的的值分别是（    ）

A.，600， B.1200，500，300

C.1100，400，600 D.300，500，1200

7. 难度：简单

若，，则

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

9. 难度：简单

在三棱锥中，，为等边三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为

A. B. C. D.

10. 难度：困难

直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任意一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数，给出下列命题：

①，都有成立；

②存在常数恒有成立；

③的最大值为；

④在上是增函数.

以上命题中正确的为（    ）

A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④

12. 难度：困难

已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，且与共线，则实数________

14. 难度：简单

某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在公里的学生有_____人.

15. 难度：中等

如图所示，在正四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别是的中点，，若在同一球面上，则此球的体积为______.

16. 难度：中等

如图，在中，为边上的点，为上的点，，则__________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列和递增的等比数列满足：且，

（1）分别求数列和的通项公式；

（2）设表示数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

18. 难度：中等

如图，三棱柱中，.

（1）求证：；

（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：

生猪存栏数量（千头）	2	3	4	5	8
头猪每天平均成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.5

（1）研究员甲根据以上数据认为与具有线性回归关系，请帮他求出关于的线.性回归方程（保留小数点后两位有效数字）

（2）研究员乙根据以上数据得出与的回归模型：.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：

①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：称为相应于点的残差）；

生猪存栏数量（千头）	2	3	4	5	8
头猪每天平均成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.5
模型甲	估计值
残差
模型乙	估计值	3.2	2.4	2	1.76	1.4
残差	0	0	0	0.14	0.1

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.

（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.（利润=收入-成本）

参考公式：.

参考数据：.

20. 难度：困难

已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足.

（1）求出动点的轨迹的标准方程；

（2）设动直线与曲线有且仅有一个公共点，与圆相交于两点（两点均不在坐标轴上），求直线的斜率之积.

21. 难度：困难

已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论.

22. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线的方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l和曲线的极坐标方程；

（2）曲线分别交直线l和曲线于点A，B，求的最大值及相应的值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若不存在实数，使得，求实数的取值范围.