2019届湖南长沙市高三月考试卷（二）数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，，则（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

设是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则（   ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知函数，在下列区间中包含零点的是（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的(    )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充要条件

6. 难度：简单

已知，则的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

在正项等比数列中，，则的前项和（    ）

A. B.

C.或 D.或

8. 难度：中等

已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：简单

已知向量满足，若，，则的值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

已知点为外一点，，则角（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

若变量满足约束条件则的最大值为__________．

14. 难度：简单

已知函数f (x)的定义域为R . 当时，；当时，；当时，，则_______．

15. 难度：中等

已知，，则_____．

16. 难度：中等

“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M表示)

三、解答题

17. 难度：困难

已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．

求数列的通项公式；  

若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

已知动点到定直线：的距离比到定点的距离大2.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与曲线交于，两点，使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.

20. 难度：中等

某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生的选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.

某学校为了解高一年级名学生选考科目的意向，随机选取名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

性别	选考方案确定情况	物理	化学	生物	历史	地理	政治
男生	选考方案确定的有人
选考方案待确定的有人
女生	选考方案确定的有人
选考方案待确定的有人

（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？

（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的名学生中随机选出名，试求在选取的名学生中恰有名男生的条件下两名学生的选考方案中都含有历史学科的概率；

（3）从选考方案确定的名男生中随机选出名，设随机变量表示所选人中选考方案完全相同的人数(若有组人选考方案完全相同，则)，求的分布列及数学期望.

21. 难度：困难

已知函数，为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.

（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；

（Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.

23. 难度：中等

知函数.

(1)当时,求的解集;

(2)已知，，若对于,都有成立,求的取值范围.