2020届河南省顶级名校高三1月教学质量测评文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，，则的元素个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

3. 难度：中等

己知，，，则（      ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：

小明说：“鸿福齐天”是我制作的；

小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；

小金说：“兴国之路”不是我制作的，

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（      ）

A.小明 B.小红 C.小金 D.小金或小明

5. 难度：简单

函数的图像大致为（      ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到；其中正确的结论个数为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

7. 难度：简单

己知向量，，若，则与夹角的余弦值为（      ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

若，则（    ）

A. B.7 C. D.

9. 难度：简单

框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（      ）

A.， B. C.， D.，

10. 难度：中等

己知双曲线的左、右焦点分别为，，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的2倍，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在中，角所对的边分别为.若，，时，则的面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

己知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在处的切线方程为_________.

14. 难度：简单

设为正项等比数列的前项和，若，，则____

15. 难度：中等

函数在上的值域为________

16. 难度：中等

己知四棱锥中的外接球的体积为，，平面，四边形为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为________

三、解答题

17. 难度：简单

由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.

（1）求的值；

（2）求地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；

（3）不经过计算，直接给出地区200家实体店经济损失的平均数与6000的大小关系.

18. 难度：中等

记为等差数列的前项和，且，.

（1）求数列的通项公式以及前项和；

（2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.

19. 难度：中等

四棱锥如图所示，其中四边形是直角梯形，，，平面，，与交于点，直线与平面所成角的余弦值为，点在线段上.

（1）若直线平面，求的值；

（2）若，求点到平面的距离.

20. 难度：困难

己知函数.

（1）判断函数在上的单调性；

（2）若，求证：当时，.

21. 难度：困难

己知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；

（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.

23. 难度：中等

己知，，.

（1）求证：；

（2）若，求证：.