2019届北京市高三下学期月考（2月）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输出，则输入的（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为（　　）

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 难度：中等

（2017-2018学年广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考）多面体的底面为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则的长为

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

8. 难度：困难

设函数的定义域为,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,).若为上的“型增函数”,则实数的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为______．

10. 难度：简单

设是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数的取值范围为___．

11. 难度：简单

若变量，满足约束条件，则的最大值___．

12. 难度：简单

在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为___．

13. 难度：简单

在梯形中，//，，为中点，若，则___．

14. 难度：中等

对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”．若为函数关于的一个“生长点”，则___；若，，则函数关于的“生长点”共有___个．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数的最大值为1.

（1）求函数的周期与单调递增区间；

（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.

16. 难度：简单

为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．

（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

已知三棱柱中，，，，，，分别为棱的中点

（1）求证：

（2）求直线与所成的角

（3）若为线段的中点，在平面内的射影为，求

18. 难度：中等

已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）求证：．

19. 难度：中等

已知函数．

（1）若函数在点处的切线平行于直线，求切点的坐标及此切线方程；

（2）求证：当时，；（其中）

（3）确定非负实数的取值范围，使得，成立．

20. 难度：中等

若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”.

（1）①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；

（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.