2020届江苏省启东市高三下学期期初考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集，集合，则____.

2. 难度：简单

复数（i是虚数单位）的虚部为____.

3. 难度：简单

某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____.

4. 难度：中等

如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

5. 难度：简单

函数的定义域为____.

6. 难度：简单

劳动最光荣.某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为____.

7. 难度：简单

已知抛物线y²=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为______.

8. 难度：简单

已知等差数列的前n项和为S_n，若，则____.

9. 难度：简单

已知是第二象限角，且，，则____.

10. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点在圆x²＋y²=1上，若直线上存在点C，使△ABC是边长为的等边三角形，则点C的横坐标是______.

11. 难度：中等

设m为实数，若函数f(x)=x²－mx－2在区间上是减函数，对任意的，总有，则m的取值范围为____.

12. 难度：困难

如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则____.

13. 难度：困难

若实数满足：，则的最小值为____.

14. 难度：困难

若函数恰有3个不同的零点，则a的取值范围是____.

二、解答题

15. 难度：简单

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD//平面BCC₁B₁，AD⊥DB.求证：

 

（1）BC//平面ADD₁A₁；

（2）平面BCC₁B₁⊥平面BDD₁B₁.

16. 难度：简单

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB=bsin2A.

（1）求角A；

（2）若a=5，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

17. 难度：中等

如图1，已知正方形铁片边长为2a米，四边中点分别为E，F，G，H，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD（两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD的四边折起，使E，F，G，H四点重合，记为P点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO⊥底面ABCD，O为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD的边长为2x米.

（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S；

（2）请写出正四棱锥的体积V关于x的函数，并求V的最大值.

18. 难度：困难

已知椭圆，椭圆经过椭圆C₁的左焦点F 和上下顶点A，B.设斜率为k的直线l与椭圆C₂相切，且与椭圆C₁交于P，Q两点.

（1）求椭圆C₂的方程；

（2）①若，求k的值；

②求PQ弦长最大时k的值.

19. 难度：困难

已知函数，其中，e为自然对数的底数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若存在()，使得，证明：.

20. 难度：困难

已知数列和都是等差数列，.数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）证明：是等比数列；

（3）是否存在首项为1，公比为q的等比数列，使得对任意，都有成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由.

21. 难度：简单

已知矩阵的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量是.求矩阵M的另一个特征值以及它的逆矩阵.

22. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.若直线与曲线交于，两点，求线段的长.

23. 难度：简单

已知，且满足，证明：.

24. 难度：中等

在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.

（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；

（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.

25. 难度：困难

对于给定正整数，设，记.

（1）计算的值；

（2）求.