2012-2013学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，复数z=i（1-i），则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

如图设全集U为整数集，集合A={x∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ）

A．3
B．4
C．7
D．8

3. 难度：中等

设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真
B．￢q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真

4. 难度：中等

对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

x	2	4	5	6	8
y	20	40	60	70	80

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（ ）
A．210
B．210.5
C．211.5
D．212.5

5. 难度：中等

“∥”是“存在唯一实数λ，使得=λ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数y=1og₅（1-x）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

8. 难度：中等

在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若运行如图所示的程序，则输出S的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数半个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．5

12. 难度：中等

能够把圆O：x²+y²=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（ ）
A．f（x）=x³
B．
C．f（x）=e^x-e^-x
D．f（x）=1n[（4-x）（4+x）]

二、填空题

13. 难度：中等

以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为    ．

14. 难度：中等

若函数，则函数f（x）的零点为    ．

15. 难度：中等

已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的最大值是    ．

16. 难度：中等

已知点是函数y=2^x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x₁，sin₁）、B（x₂，sinx₂）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有    成立．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列．
（I）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx•（其中ω＞o），且函数f（x）的最小正周期为π
（I）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．

19. 难度：中等

某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：

社团	泥塑	剪纸	年画
人数	320	240	200

为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．
（I）求三个社团分别抽取了多少同学；
（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．

20. 难度：中等

没椭圆的左、右焦点分别F₁、F₂，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F₁F₂的周长为16．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．

21. 难度：中等

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．
（I）当时，求直路l所在的直线方程；
（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+b•x²的图象过点（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若为实数）恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数．