2012-2013学年安徽省芜湖一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知平面α和直线l，则在平面α内至少有一条直线与直线l（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交
D．以上都有可能

2. 难度：中等

如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ ）
A．8：27
B．2：3
C．4：9
D．2：9

3. 难度：中等

若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

4. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球，至少有1个白球
B．恰有一个黑球，恰有2个白球
C．至少有一个黑球，都是黑球
D．至少有1个黑球，都是白球

6. 难度：中等

如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A．
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是6，7，8的概率依次是P（A），P（B），P（C），则（ ）
A．P（A）=P（C）＜P（B）
B．P（A）＜P（B）＜P（C）
C．P（B）＜P（A）=P（C）
D．P（C）＜P（B）＜P（A）

8. 难度：中等

三棱锥P-ABC中M、N分别是AP、AB的中点，下列命题正确的是（ ）

A．MN=EF
B．ME与NF是异面直线
C．直线ME、NF、AC相交于同一点
D．直线ME、NF、AC不相交于同一点

9. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内任取一点，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是（ ）
A．1
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行．
其中真命题是（ ）

A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③

12. 难度：中等

有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知一个球的内接正方体的表面积为S，那么这个球的半径为     ．

14. 难度：中等

现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是    ．

15. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P到面ABC的距离为    ．

16. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M在平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁的距离相等的点，则M点的轨迹是直线A₁D₁，
其中真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

某汽车站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该汽车站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．
（1）列出所有基本事件；
（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？

18. 难度：中等

现有一条长度为1的绳子．
（1）用剪刀剪成两段，使得两段长度都大于的概率是多少？
（2）用剪刀剪成三段，使三段能构成三角形的概率是多少？

19. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，D₁是A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合），过D₁和C₁C的平面与AB交于D．
（Ⅰ）证明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D₁为A₁B₁的中点，求三棱锥B₁-C₁AD₁的体积．

20. 难度：中等

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点
（Ⅰ）求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M₁．

21. 难度：中等

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

22. 难度：中等

如图，已知平行六面体ABC-A₁B₁C₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，问F在何处时，EF⊥AD？