2012-2013学年湖南省湘西州泸溪一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={-1，2，3，9}，B={x|x²+2x-3≤0}，则A∩B为（ ）
A．{2，3，9}
B．{1，2}
C．{-1}
D．{-1，1，2，9}

2. 难度：中等

已知异面直线a，b所成的角为α，且值为（ ）
A．
B．
C．或
D．

3. 难度：中等

下列函数中既是偶函数，又是区间[-1，0]上的减函数的是（ ）
A．y=cos
B．y=-|x-1|
C．
D．y=|tanx|

4. 难度：中等

有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为（ ）

A．12cm²
B．12πcm²
C．24πcm²
D．36πcm²

5. 难度：中等

已知函数，则函数g（x）=f（x）-x的零点有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

6. 难度：中等

甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s₁，s₂分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，a₁，a₂分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的中位数，则有（ ）

A．＞，s₁＜s₂ a₁≠a₂
B．=，s₁＜s₂ a₁=a₂
C．=，s₁=s₂ a₁≠a₂
D．＜，s₁＞s₂ a₁=a₂

7. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．0
B．
C．-2
D．-3

8. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a²、b²、c²成等差数列，则角B的最值及取最值时三角形面积为（ ）
A．角B有最小值，此时
B．角B有最大值，此时
C．角B有最小值，此时
D．角B有最大值，此时

二、填空题

9. 难度：中等

在空间直角坐标系中，若点A（1，2，-1），点B（-3，-1，-6），则|AB|=    ．

10. 难度：中等

函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=-5，则f[f（5）]=    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}为等比数列，且，则cos（a₂a₁₂）的值为    ．

12. 难度：中等

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心且与y轴相切的圆的方程是    ．

13. 难度：中等

阅读右侧程序框图，输出的结果的值为    ．

14. 难度：中等

某地区因环境变化，月均降水量与年份x统计数据如下表：

年份x	2004	2005	2006	2007
月降水量y（ml）	47	45.5	43.5	41

从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为，据此模型可预测    年起该地区的月均降水量将开始低于30ml．

15. 难度：中等

设集合M={1，2，3，…，n} （n∈N⁺），对M的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=    ．②S_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数定义域及单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）≥1，求角C的取值范围．

17. 难度：中等

某市为了了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第一小组为[5，6），从左到右前5个小组的频率分别为0.06，0.1，0.14，0.28，0.3．第6小组的频数是6．
（Ⅰ）求这次实心球测试成绩合格的人数；
（Ⅱ）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投一次，求乙投得没有甲远的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．

19. 难度：中等

有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员4a（40＜a＜120，a∈Z）人，每人每年可创纯利5万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创纯利0.1万元，但公司需付下岗职员生活费等每人每年4万元，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的．
（Ⅰ）若该公司裁减x人，可获得的经济效益为y万元，求y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）该公司为获得最大的经济效益，应裁员多少人？

20. 难度：中等

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

21. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）当时，求直线l的方程；
（Ⅱ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．