2012-2013学年云南省部分名校高三（上）第一次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（-1，1）
C．（-1，-1）
D．（1，-1）

2. 难度：中等

已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）-f（1）=（ ）
A．3
B．
C．
D．1

3. 难度：中等

已知k＜4，则曲线和有（ ）
A．相同的准线
B．相同的焦点
C．相同的离心率
D．相同的长轴

4. 难度：中等

若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-84
B．84
C．-36
D．36

5. 难度：中等

函数f（x）=sin2x-4sin³xcosx（x∈R）的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．π

6. 难度：中等

设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件

7. 难度：中等

函数f（x）=log_a（6-ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（1，3）
C．（1，3]
D．[3，+∞）

8. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A．n≤8？
B．n≤9？
C．n≤10？
D．n≤11？

10. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图，则S=f（0+f（1）+…+f（2013））等于（ ）

A．0
B．503
C．2013
D．2014.5

11. 难度：中等

已知a，b∈（0，+∞）且2a+b=1，则s=2的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（ ）
A．9：4：1
B．1：4：9
C．3：2：1
D．1：2：3

二、填空题

13. 难度：中等

在正项等比数列{a_n}时，a₁和a₁₉为方程x²-10x+16=0的两根，则a₈•a₁₀•a₁₂等于    ．

14. 难度：中等

已知函数，在区间[2，3]上任取一点x，使得f′（x）＞0的概率为     ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足x²+y²-4x+1=0，则的最大值为    ．

16. 难度：中等

设函数 ，函数y=f[f（x）]-1的零点个数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求的取值范围．

18. 难度：中等

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y），记ξ=．
（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA₁上是否存在点P，使得CP⊥面BDC₁？并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解．

22. 难度：中等

已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．