2012-2013学年福建省漳州市诏安县桥东中学高三（上）第四次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，前3项的和为S₃=3，公比q=2，则S₆=（ ）
A．18
B．27
C．81
D．90

2. 难度：中等

已知tanα=2，则cos2α=（ ）
A．-
B．
C．±
D．-

3. 难度：中等

命题“∀x∈[1，2]，x²-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5

4. 难度：中等

对于空间任意直线l和平面α，下列命题中成立的是（ ）
A．平面α内一定存在直线与直线l平行
B．平面α内一定存在直线与直线l垂直
C．平面α内一定没有直线与直线l平行
D．平面α内可能没有直线与直线l垂直

5. 难度：中等

函数y=2^|x-1|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

把函数f（x）=cos 的图象分别向左、向右平移a个、b个（a＞0，b＞0）长度单位所得到的两个图象互相重合，那么a+b可以是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π

7. 难度：中等

已知在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若SA=AB，则直线SB与侧面SCD所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

8. 难度：中等

已知集合M={ x|x=a²+b²，a，b∈Z }，若x₁，x₂∈M，那么（ ）
A．x₁+x₂∈M
B．x₁+x₂∉M
C．x₁•x₂∈M
D．以上答案都不对

9. 难度：中等

设[x]表示不大于x的最大整数，则函数f （x）=㏒₄x的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

10. 难度：中等

如图1，在△OAB中，M是AB边上的点，则=+，类比到空间向量，如图2，在四面体OABC中，M是△ABC内一点，那么下列结论正确的是（ ）

A．=++
B．=++
C．（其中d₁、d₂、d₃分别表示M到BC、CA、AB的距离）
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知a=sinxdx，则函数f （x）=x³-（a+1）x的极小值等于    ．

12. 难度：中等

已知=（-1，0），=（2，4），则|-|=    ．

13. 难度：中等

如图，一个三棱锥的三视图都是等腰直角三角形，则该棱锥的表面积等于    cm²．

14. 难度：中等

已知x，y满足，则z=的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设x＞0，y＞0，x+y-x²y²=4，则的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知集合A={ x|2＜（ ）^3（x-1）}，B={ x|log（9-x²）＜log（6-2x）}，又A∩B={ x|x²+ax+b＜0 }，求a，b的值．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值．

18. 难度：中等

已知函数f （x）=sin xcos x-cos²x-，x∈R．
（1）求函数f （x）的最小值和最小正周期；
（2）若函数g （x）的图象与函数f （x）的图象关于y轴对称，记F （x）=f （x）+g （x），求F （x）的单调递增区间．

19. 难度：中等

已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，C=，若向量=（1，sin A）与=（2，sin B）共线．
（1）求a，b的值；
（2）求△ABC的面积和外接圆的面积．

20. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当=时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

21. 难度：中等

设，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．