2012-2013学年宁夏银川一中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等差数列{a_n}及等比数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a₂=b₂＞0，则当n≥3时有（ ）
A．a_n＞b_n
B．a_n=b_n
C．a_n≥b_n
D．a_n≤b_n

2. 难度：中等

设点A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交则l的斜率k的取值范围（ ）
A．k≥或k≤-4
B．≤k≤4
C．-4≤k≤
D．k≥4或k≤-

3. 难度：中等

若直线l₁：y-2=（k-1）x和直线l₂关于直线y=x+1对称，那么直线l₂恒过定点（ ）
A．（2，0）
B．（1，-1）
C．（-2，0）
D．（1，1）

4. 难度：中等

设f（sinα+cosα）=sinαcosα，若f（t）=，则t的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设a∈R，若函数f（x）=e^x-x³，x∈R，则该函数的极值点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β
B．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b⊂α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

10. 难度：中等

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（ ）
A．
B．
C．（0，2）
D．

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1）时，f（x）=（1-x），则函数f（x）在（1，2）上（ ）
A．是减函数，且f（x）＞0
B．是增函数，且f（x）＞0
C．是增函数，且f（x）＜0
D．是减函数，且f（x）＜0

二、填空题

13. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移φ（0≤φ＜π）个单位后，得函数y=sin（2x-）的图象，则φ等于    ．

14. 难度：中等

设命题p：2x²-3x+1≤0，命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若非p是非q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是    ．

16. 难度：中等

已知直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

18. 难度：中等

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．设b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；     
（2）若c₁=1，，求证：c_n＜3．

19. 难度：中等

P（x，y）（x≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．

20. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x--alnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，记过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于AF（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：
（1）∠BAC=∠CAG
（2）AC²=AE•AF．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数）M是C₁上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C₂
（Ⅰ）求C₂的方程
（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式的f（x）≥3x+2解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．