2012-2013学年福建省厦门市高三（上）质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2，3}，则（∁_UA）∩B等于（ ）
A．{3}
B．{l，2}
C．{1，3}
D．{l，2，3}

2. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，sinx＜l
B．∃x∈R，2^x＜0
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若x＞l且y＞2，则x+y＞3

3. 难度：中等

已知平面向量=（2-k，3），=（2，4），∥，则实数k等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．15π
B．24π
C．39π
D．48π

6. 难度：中等

已知F是抛物线y²=4x的焦点，P是圆x²+y²-8x-8y+31=0上的动点，则|FP|的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

7. 难度：中等

函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（2x-），则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的图象关于（，0）对称
C．函数f（x）的图象关于直线x=对称
D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin2x的图象

10. 难度：中等

函数f（x）满足：（i）∀x∈R，f（x+2）=f（x），（ ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．给出如下四个结论：
①函数f（x）在区间[1，2]单调递减；
②函数f（x）在点（）处的切线方程为4x+4y-5=0；
③若数列{a_n}满足a_n=f（2n），则其前n项和S_n=n；
④若[f（x）]²-2f（x）+a=0有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．
其中正确结论的个数是（ ）
A．l
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

sin75°•cos75°的值是    ．

12. 难度：中等

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，实轴长为4，则双曲线的方程是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（-1）+f（a²）=1，则a=    ．

14. 难度：中等

若不等式5+m+对任意m∈（0，+∞）都成立，则K的最大值为    ．

15. 难度：中等

平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0（A²+B²≠0），用类比的方法推测空间直角坐标系下平面的方程为    ．

16. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则•等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2，E，F分别是A₁B，BC的中点．
（I）证明：EF∥平面A A_lC_lC；
（II）证明：AE⊥平面BEC．

18. 难度：中等

已知x=-2是函数f（x）=（ax+1）e^x的一个极值点．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[-4，0]，求函数f（x）的单调区间及最大值．

19. 难度：中等

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知锐角三角形ABC的三个内角为A，B，C，其对应边分别为a，b，c，b=2，向量=（ cosB，cosC），=（c-a，b），且•=acosB．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）求a+c的取值范围．

21. 难度：中等

某厂家研发甲、乙两种产品准备试产，经调研，生产甲产品需固定成本100万元，每生产一件产品，成本增加1万元，每件销售价格p（万元/件）与产量x（件）满足关系p=25；乙产品的利润L（万元）与成本t（万元）的关系为L=现有资金200万元，所生产的产品都能销售出去，并且甲产品必须生产．
（I）要使甲产品的利润最大，应生产甲产品多少件；
（Ⅱ）若资金全部投入生产，如何分配对甲、乙的投资，能使厂家获得的利润最大？

22. 难度：中等

已知A，B分别是椭圆C₁：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C₂：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．
（I）若P（），Q（，1），求椭圆C_l的方程；
（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k₁，k₂，k₃，k₄，求证：k₁•k₂+k₃•k₄为定值；
（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．