2012-2013学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题：“∀x∈R，x²-x+2≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²-x+2≥0
B．∀x∈R，x²-x+2≥0
C．∃x∈R，x²-x+2＜0
D．∀x∈R，x²-x+2＜0

2. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²=1，则x≠1”
B．命题“若x=y，则x²=y²”的逆否命题是假命题
C．命题“若a²+b²≠0，则a，b全不为0”为真命题
D．命题“若α≠β”，则cosα≠cosβ”的逆命题为真命题

3. 难度：中等

抛物线y=ax²的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为上底面A₁C₁的中心，若+，则x、y的值分别为（ ）
A．x=1，y=1
B．x=1，y=
C．x=，y=
D．x=，y=1

5. 难度：中等

在如图所示的正方体A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（ ）

A．-
B．-
C．
D．

6. 难度：中等

过点P（2，-2），且与有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）
A．
B．1＜m＜2
C．2＜m＜3
D．1＜m＜3

8. 难度：中等

已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知抛物线y²=-4x上的焦点F，点P在抛物线上，点A（-2，1），则要使|PF|+|PA|的值最小的点P的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1

11. 难度：中等

椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

双曲线的实轴长和焦距分别为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，，且与垂直，则k等于    ．

14. 难度：中等

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且，则△F₁PF₂的面积为    ．

15. 难度：中等

已知抛物线y²=8x，F为其焦点，P为抛物线上的任意点，则线段PF中点的轨迹方程是    ．

16. 难度：中等

有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽    米．

17. 难度：中等

如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为米、CB=10米，AB的长为10米，CD的长为米，则库底与水坝所成的二面角的大小为     度．

18. 难度：中等

已知平面α经过点A（1，1，1），且是它的一个法向量．类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面α的方程是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x与直线y=2x-4交于A，B两点．
（1）求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．

21. 难度：中等

已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的点C变为C₁，且AC₁=2．
（1）求证：平面ABD⊥平面BC₁D；
（2）E为线段AC₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时，DE与平面BC₁D所成的角为30°？

23. 难度：中等

如图，已知椭圆，A₁，A₂，B₁是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）作直线l，使得l∥A₂B₁，且与椭圆C相交于P、Q两点（异于椭圆C的顶点），设直线A₁P和直线B₁Q的倾斜角分别是α，β，求证：α+β=π．