2012-2013学年福建省福州市文博中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

2. 难度：中等

已知曲线C的方程是x²+y²+6ax-8ay=0，那么下列各点中不在曲线C上的是（ ）
A．（0，0）
B．（2a，4a）
C．（3a，3a）
D．（-3a，-a）

3. 难度：中等

“直线l与抛物线C有唯一公共点”是“直线l与抛物线C相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分与不必要条件

4. 难度：中等

有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误

5. 难度：中等

设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．y=±2
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx=0
B．∃x∈R，tanx=1
C．∀x∈R，x³＞0
D．∀x∈R，2^x＞0

7. 难度：中等

下列双曲线方程中，符合与双曲线有共同渐近线，且实轴长为18的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab=0，则a=0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

双曲线-=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则mn的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6米时，水面宽10米，抛物线的方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

直线y=2（x+1）与曲线的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点F在AB上，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

命题“任意x∈R，x²+3x+2＜0”的否定是    ．

14. 难度：中等

抛物线y²=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|=    ．

15. 难度：中等

从1=1²，1+3=2²，1+3+5=2³，1+3+5+7=2⁴，1+3+5+7+9=2⁵…中，可得到一般规律为    ．（用数学表达式表示）

16. 难度：中等

A₁，A₂分别是椭圆的长轴的左、右端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知复数z=（1-m²）+（m²-3m+2）i，其中m∈R
（ I）若复数z=0，求m的值；
（ II）若复数z为纯虚数，求m的值；
（ III）若复数z在复平面上所表示的点在第三象限，求m的取值范围．

18. 难度：中等

根据下列条件求圆锥曲线的标准方程．
（ I）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8的双曲线方程；
（ II）经过两点，的椭圆．

19. 难度：中等

给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1米，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4厘米．据此推算，到2050年底该地区将有10千米²水面面积．请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？（提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为s=πr²）

21. 难度：中等

已知（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）归纳并猜想f（n）
（Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想．

22. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=4x，过点P的直线l与抛物线C交点A、B两点，且点P为弦AB的中点．
（ I）求直线l的方程；
（ II）若过点P斜率为-2的直线m与抛物线C交点A₁、B₁两点，求证：PA•PB=PA₁•PB₁；
（ III）过线段AB上任意一点P₁（不含端点A、B）分别做斜率为k₁、k₂（k₁≠k₂）的直线l₁，l₂，若l₁交抛物线C于A₁、B₁两点，l₂交抛物线C于A₂，B₂两点，且：P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂，试求k₁+k₂的值．