2012-2013学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题是真命题的为（ ）
A．若x²=1，则x=1
B．若x=y，则
C．若，则x=y
D．若x＜y，则x²＜y²

2. 难度：中等

复数z=-2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

设m、x∈R，则“m≥0”是“方程x²-2x+m=0没有实数根”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．3πcm³
C．
D．6πcm³

5. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且为幂函数，则ab的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在[-2，3]上随机取一个数x，则（x+1）（x-3）≤0的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

曲线y=10+2lnx在点（1，10）处的切线方程是（ ）
A．12x-y-2=0
B．2x-y+8=0
C．2x+y-12=0
D．x-2y+19=0

8. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

双曲线的渐近线都与圆C：x²+y²-10x+9=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

10. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴为极轴）中，曲线C₂的方程ρ（cosθ-sinθ）+2=0，C₁与C₂相交于两点A，B，则公共弦AB的长是    ．

11. 难度：中等

已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是    g．

12. 难度：中等

观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n（n+1）=    （n∈N^*）．

13. 难度：中等

若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是    ．

14. 难度：中等

如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，则=    ．

15. 难度：中等

设集合A={x|log₂x≤2}，集合B={x|3^x-2≥1}，则A∩B=    ．

16. 难度：中等

某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且b=，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在+20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：

酒精含量（mg/100ml）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
人数	3	4	1	4	2	3	2	1

（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；
（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率；
（3）估计检测数据中酒精含量的平均数．

19. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，异面直线AD₁与BC所成角为45°．
（1）求证：AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）求直线DD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆的焦点为F₁（1，0）、F₂（-1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

22. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=4x³-2ax+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．