2012-2013学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．2+i
B．2-i
C．-1+2i
D．-1-2i

2. 难度：中等

若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定

3. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（ ）

A．π+2
B．
C．2π+2
D．2

4. 难度：中等

高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（ ）
A．16种
B．18种
C．20种
D．22种

5. 难度：中等

若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x²+y²=1内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设直线l的方程为：x+ysinθ-2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A．[0，π）
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列命题正确的有
①用相关指数R²来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；
②命题p：“∃x∈R，x²-x-1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x²-x-1≤0”；
③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；
④回归直线一定过样本中心（）．（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（ ）
A．3+
B．
C．10
D．5

二、填空题

9. 难度：中等

计算的值等于    ．

10. 难度：中等

如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于    ．

11. 难度：中等

若曲线C的极坐标方程为 ρcos²θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为    ．

12. 难度：中等

看图程序运行后的输出结果s=    ．

13. 难度：中等

已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的     条件．

14. 难度：中等

为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=log_a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为    ．

15. 难度：中等

已知a，b，c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线x²+y²-2x-2y=0截得的弦长的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知x，y∈N^*，且1+2+3+4+…+y=1+9+9²++…+9^x-1，当x=2时，y=    ；若把y表示成x的函数，其解析式是y=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，设ω＞0，，，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．

18. 难度：中等

在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．
（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；
（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．

19. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．

20. 难度：中等

京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．
（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；
（2）求列车正常行驶的速度；
（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．

21. 难度：中等

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令，T_n=，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．