2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）

一、填空题

1. 难度：简单

的最小正周期为，其中，则             。

2. 难度：简单

一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为                  。

3. 难度：简单

表示为，则=             。

4. 难度：简单

，则的元素个数为           。

5. 难度：简单

的夹角为，，则                  。

6. 难度：简单

在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为                   。

7. 难度：简单

某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号 （i）	分组 （睡眠时间）	组中值（）	频数 （人数）	频率 （）
1	[4,5)	4.5	6	0.12
2	[5,6)	5.5	10	0.20
3	[6,7)	6.5	20	0.40
4	[7,8)	7.5	10	0.20
5	[8,9)	8.5	4	0.08

在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是              。

8. 难度：简单

直线是曲线的一条切线，则实数            。

9. 难度：简单

在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：                           。

10. 难度：简单

将全体正整数排成一个三角形数阵：

                  

按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为                 。

11. 难度：简单

的最小值为                。

12. 难度：简单

在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=    　　　     。

13. 难度：简单

若，则的最大值                。

14. 难度：简单

对于总有成立，则=      　         。

二、解答题

15. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。

（1）求的值；   （2） 求的值。

16. 难度：简单

在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，

求证：（I）直线；

（II）。

17. 难度：简单

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。

（I）按下列要求写出函数关系式：

①设，将表示成的函数关系式；

②设，将表示成的函数关系式。

（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

18. 难度：简单

设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。

（1）求实数的取值范围；

（2）求圆的方程；

（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。

19. 难度：简单

（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当时，求的数值；②求的所有可能值；

（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

20. 难度：简单

若为常数，且。

（Ⅰ）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；

（Ⅱ）设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。

21. 难度：简单

从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分

A．选修4—1　几何证明选讲

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D。求证：。

B．选修4—2　矩阵与变换

在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。

C．选修4—4　参数方程与极坐标

在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值。

D．选修4—5　不等式证明选讲

设a，b，c为正实数，求证：。

22. 难度：简单

记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记。当为钝角时，求的取值范围。

23. 难度：简单

请先阅读：

在等式（）的两边求导，得：，

由求导法则，得，化简得等式：。

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：。

（2）对于正整数，求证：

（i）；  （ii）；  （iii）。