2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（江西）

一、选择题

1. 难度：简单

化简的结果是

   A．2＋i            B．－2＋i        C．2－i            D．－2－i

2. 难度：简单

   A．等于0           B．等于l        C．等于3           D．不存在

3. 难度：简单

若，则cot α等于

A．－2             B．           C．              D．2

4. 难度：简单

已知(＋)ⁿ展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于

   A．4             B．5            C．6               D．7

5. 难度：简单

若0＜x＜，则下列命题中正确的是

A．sin x＜    B．sin x＞    C．sin x＜    D．sin x＞

6. 难度：简单

若集合且}，则N中元素的个数为

   A．9               B．6             C．4               D．2

7. 难度：简单

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂

   足为点H．则以下命题中，错误的命题是

   A．点H是△A₁BD的垂心

   B．AH垂直平面CB₁D₁

   C．AH的延长线经过点C₁

   D．直线AH和BB₁所成角为45°

     

8. 难度：简单

四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h₁，h₂，h₃，h₄，则它们的大小关系正确的是

A．h₂＞h₁＞h₄       B．h₁＞h₂＞h₃     C．h₃＞h₂＞h₄       D．h₂＞h₄＞h₁

9. 难度：简单

设椭圆的离心率为e＝,右焦点为F(c,0)，方程ax²＋bx－c＝0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P(x₁,x₂)

A．必在圆x²＋y²＝2内             B．必在圆x²＋y²＝2上

C．必在圆x²＋y²＝2外             D．以上三种情形都有可能

10. 难度：简单

将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为

   A．              B．           C．             D．

11. 难度：简单

设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为

   A．－            B．0             C．              D．5

12. 难度：简单

设在(0，＋∞)内单调递增，，则p是q的

   A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

   C．充分必要条件                     D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13. 难度：简单

设函数y＝4＋log₂(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为                ．

14. 难度：简单

已知数列{a_n}对于任意p，q ∈N^*，有a_p+a_q=a_p+q，若a₁=，则a₃₆＝              ．

15. 难度：简单

如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线

   AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值

   为          ．

                      

16. 难度：简单

设有一组圆．下列四个

命题： 

A．存在一条定直线与所有的圆均相切

B．存在一条定直线与所有的圆均相交

C．存在一条定直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是          ．（写出所有真命题的代号）

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分12分）

    已知函数在区间(0，1)内连续,且．

   （1）求实数k和c的值；

   （2）解不等式

                       

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

如图,函数的

图象与y轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜

率为一2．

   （1）求θ和ω的值；

   （2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x₀，y₀)是PA的中点，当y₀＝，x₀∈[，π]时，求x₀的值．

19. 难度：简单

（本小题满分12分）

    某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，  0.6，  0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．

   （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

   （2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．

20. 难度：简单

（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到

的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，

AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

   （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

   （2）求二面角B—AC—A₁的大小；

   （3）求此几何体的体积．

                  

21. 难度：简单

（本小题满分12分）

设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，

∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．

   （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

   （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两

点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点

O为坐标原点．

                          

22. 难度：简单

（本小题满分14分）

设正整数数列{a_n}满足：a₂＝4，且对于任何

n∈N^*，有．

   （1）求a₁，a₃；

   （2）求数列{ a_n }的通项a_n ．