2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（上海）

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域为

2. 难度：简单

已知与，若两直线平行，则的值为

3. 难度：简单

函数的反函数

4. 难度：简单

方程的解是

5. 难度：简单

已知，且，则的最大值为

6. 难度：简单

函数的最小正周期是

7. 难度：简单

有数字，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为

8. 难度：简单

已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

9. 难度：简单

若为非零实数，则下列四个命题都成立：

①     ②     ③若，则

④若，则。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。

10. 难度：简单

平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件                   

11. 难度：简单

已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为 

二、选择题

12. 难度：简单

已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为

A、     B、     C、     D、

13. 难度：简单

已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A、        B、        C、        D、

14. 难度：简单

在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有

A、1个          B、2个               C、3个            D、4个

15. 难度：简单

已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若  成立，则成立，下列命题成立的是

A、若成立，则对于任意，均有成立；

B、若成立，则对于任意的，均有成立；

C、若成立，则对于任意的，均有成立；

D、若成立，则对于任意的，均有成立。

三、解答题

16. 难度：简单

体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。

17. 难度：简单

在三角形中，，求三角形的面积。

18. 难度：简单

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）

（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）

（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

19. 难度：简单

已知函数

（1）判断的奇偶性   （2）若在是增函数，求实数的范围

20. 难度：简单

若有穷数列（是正整数），满足即

（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

21. 难度：简单

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。