2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷（天津）

一、选择题

1. 难度：简单

是虚数单位，（　　）

Ａ．        Ｂ．      Ｃ．        Ｄ．

2. 难度：简单

设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　）

Ａ．4       Ｂ．11      Ｃ．12      Ｄ．14

3. 难度：简单

“”是“”的（　　）

Ａ．充分而不必要条件        Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件            Ｄ．既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）

Ａ．         Ｂ．

Ｃ．        Ｄ．

5. 难度：简单

函数的反函数是（　　）

Ａ．          Ｂ．

Ｃ．          Ｄ．

6. 难度：简单

设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）

Ａ．若与所成的角相等，则

Ｂ．若，，则

Ｃ．若，则

Ｄ．若，，则

7. 难度：简单

在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　）

Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数

Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数

Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数

Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数

8. 难度：简单

设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）

Ａ．2       Ｂ．4       Ｃ．6       Ｄ．8

9. 难度：简单

设均为正数，且，，．则（　　）

Ａ．       Ｂ．       Ｃ．       Ｄ．

10. 难度：简单

设两个向量和，其中为实数．若，中央电视台的取值范围是（　　）

Ａ．        Ｂ．       Ｃ．    Ｄ．

二、填空题

11. 难度：简单

若的二项展开式中的系数为，则　　　　（用数字作答）．

12. 难度：简单

一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　　．

13. 难度：简单

设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．

14. 难度：简单

已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．

15. 难度：简单

如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．

16. 难度：简单

如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

19. 难度：简单

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

20. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

21. 难度：简单

（本小题满分14分）

在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

22. 难度：简单

（本小题满分14分）

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．