北京四中11-12学年高二上学期期末测试（数学理）

一、选择题

1. 难度：简单

 抛物线的焦点坐标为

    A. （1，0） B. （0，1） C. （2，0） D. （0，2）

2. 难度：简单

 若为异面直线，直线，则与的位置关系是

    A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交

3. 难度：中等

 已知，，且，则实数的值是

    A. -2   B. 2    C. D.

4. 难度：简单

 若双曲线的离心率为2，则等于

    A. 2    B.   C.    D. 1

5. 难度：简单

 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

    A. 2    B. 1    C.    D.

6. 难度：中等

 已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，则椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是

    A. B. 6    C. D. 12

7. 难度：简单

 过点（2，4），与抛物线有且仅有一个公共点的直线有

    A. 1条  B. 2条  C. 3条  D. 4条

8. 难度：中等

 双曲线的一个焦点是（0，3），那么的值是

    A. －1  B. 1    C.   D.

9. 难度：中等

 已知直线和平面，在下列命题中真命题是

    A. 若内有无数多条直线垂直于内的一条直线，则

B. 若内有不共线的三点到的距离相等，则

C. 若是异面直线，，，则

D. 若

10. 难度：简单

 过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值是

    A. 2    B. 4    C.    D.

11. 难度：简单

 在正方体中，P是侧面内一动点，若点P到直线BC的距离与点P到直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是

    A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线   D. 抛物线

12. 难度：中等

 已知直线与曲线有公共点，则的取值范围是

    A.   B.

C.    D.

二、填空题

13. 难度：简单

 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________。

14. 难度：简单

 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________。

15. 难度：中等

 已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则该三棱锥外接球的表面积等于________。

16. 难度：中等

 已知椭圆的两焦点为，点满足，则的取值范围为________，直线与椭圆C的公共点个数是________。

三、解答题

17. 难度：中等

 已知直三棱柱中，AB⊥AC，，D，E，F分别为，BC的中点。

    （1）求证：DE∥平面ABC；

    （2）求证：⊥平面AEF；

    （3）求二面角的大小。

18. 难度：困难

 已知椭圆的右焦点为（3，0），离心率为。

    （1）求椭圆的方程。

    （2）设直线与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段，的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求的值。

四、选择题

19. 难度：中等

 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

    A.     B. 3    C.   D.

20. 难度：中等

 长方体的8个顶点在同一球面上，且AD=2，AD=，，则顶点A，B间的球面距离是

    A.    B.     C.     D.

21. 难度：中等

 如图，平面⊥平面，直线，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是

    A. 当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合

B. M，N两点可能重合，但此时直线AC与不可能相交

C. 当AB与CD相交，直线AC平行于时，直线BD可以与相交

D. 当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与平行

五、填空题

22. 难度：中等

 如图，已知正方体中，E是棱的中点，则异面直线与AE所成角的余弦值是_________。

23. 难度：中等

 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_________。

24. 难度：简单

 如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，∠，已知平面内有一点P′（，2），则点P′在平面内的射影P在坐标系中的坐标为_________，已知平面内的曲线C′的方程是，则曲线C′在平面内的射影C在坐标系中的方程是_________。

六、解答题

25. 难度：中等

 如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10。

    （1）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

    （2）问在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

26. 难度：压轴

 设，椭圆方程为，抛物线方程为，如图所示，过点F（0，）作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。

    （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

    （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。