四川省成都外国语学校2011-2012学年高三2月月考（数学理）

一、选择题

1. 难度：简单

 复数满足方程：，则所对应的点在（   ）

   A．第一象限  B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 难度：中等

 设集合，，那么点的充要条件是              （   ）

   A．    B．   C．   D．

3. 难度：中等

 将函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（   ）

   A．   B．

   C．        D．

4. 难度：中等

 已知直线与圆有交点，且交点为“整点”，则满足条件的有序实数对（）的个数为（   ）

   A．6 B．8    C．10   D．12

5. 难度：简单

 已知向量与关于轴对称，=（0，1），则满足不等式≤0的点Z（，）的集合用阴影表示为（   ）

   

6. 难度：中等

 已知直线平面，直线平面，给出下列命题：

   ①∥     ②⊥∥    ③∥⊥    ④∥

   其中正确命题的序号是（   ）

   A．①②③        B．②③④       C．①③     D．②④

7. 难度：简单

 在数列中，，且，，则（   ）

   A．       B．       C．      D．

8. 难度：中等

 如图，正五边形中，若把顶点染上红，黄，绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共有（   ）

   A．30种  B．27种

C．24种 D．21种

9. 难度：中等

 已知函数，若，则（   ）

   A．      B．

C．     D．无法判断与的大小

10. 难度：中等

 定义：若数列为任意的正整数n，都有为常数，则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2009项的和的最小值为（   ）

   A．-2009 B．-3010    C．-3014    D．3028

11. 难度：中等

 已知分别为双曲线的左，右焦点，M为双曲线上除顶点外的任意一点，且的内切圆交实轴于点N，则的值为（   ）

    A．   B．   C．   D．

12. 难度：困难

 函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数．设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于(    )

A．                  B．              C．1          D．

二、填空题

13. 难度：中等

 若多项式，则         ．

14. 难度：中等

 在平面几何里，已知的两边互相垂直，且,则边上的高；现在把结论类比到空间：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，平面,且,则点到平面的距离       ．

15. 难度：中等

 记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为               ．

16. 难度：中等

 给出下列四个命题：

①“向量,的夹角为锐角”的充要条件是“·>0”；

②如果f(x)=x,则对任意的x₁、x₂Î(0,+¥),且x₁¹x₂,都有f()>；

③设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意xÎ[a,b],都有|f(x)−g(x)|£1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间[a,b]称为“密切区间”.若f(x)=x²−3x+4与g(x)=2x−3在[a,b]上是“密切函数”,则其“密切区间”可以是[2,3]；

④记函数y=f(x)的反函数为y=f ⁻¹(x),要得到y=f ⁻¹(1−x)的图象,可以先将y=f(x)的图象关于直线y=x做对称变换,再将所得的图象关于y轴做对称变换,再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位,即得到y=f ⁻¹(1−x)的图象．其中真命题的序号是            。(请写出所有真命题的序号)

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；

   （Ⅱ）设函数求的值域．

18. 难度：中等

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．

（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．

19. 难度：困难

如图，三棱柱中，侧面底面，,

且,O为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．

20. 难度：困难

已知数列满足，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求数列的通项公式．

21. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

22. 难度：困难

已知函数．

（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证．