东北四校2011-2012学年高三第一次高考模拟考试数学（理）试题

一、选择题

1. 难度：简单

 集合中含有的元素个数为        （    ）

    A．4    B．6    C．8    D．12

2. 难度：中等

 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是   （    ）

    A．  B．  C．    D．

3. 难度：中等

 下列有关命题的说法中，正确的是         （    ）

    A．命题“若，则”的否命题为“若，则”

    B．命题“若”的逆命题为真命题

    C．命题“”的否定是“”

    D．“”是“”的充分不必要条件

4. 难度：中等

 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可

入肺颗粒物，右图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个

监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则

甲、乙两地浓度的中位数较低的是  （    ）

    A．甲       B．乙

    C．甲乙相等     D．无法确定

5. 难度：中等

 若，则a的值是      （    ）

    A．2        B．3

    C．4        D．6

6. 难度：简单

 某程序框图如右图所示，则输出的结果是          （    ）

    A．43       B． 44

    C．45       D．46

7. 难度：简单

 已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且，

则对任意的正实数t，的最小值是     （    ）

    A．2        B．

    C．4        D．

8. 难度：简单

 一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是          （    ）

    A．

    B．

    C．

    D．

9. 难度：中等

 过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为        （    ）

    A．   B．2    C． D．

10. 难度：中等

 如下图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为（    ）

    A．       B．

    C．       D．

11. 难度：困难

 已知定义在R上的奇函数，设其导函数，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是     （    ）

    A．（-1，2） B．  C．   D．（-2，1）

12. 难度：中等

 已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是              （    ）

    A．[-4，0]  B． C． D．

二、填空题

13. 难度：简单

 已知i为虚数单位，则复数的虚部是        。

14. 难度：中等

 已知函数，若是的一个单调递增区间，则的值为                  。

15. 难度：困难

 给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为       。

16. 难度：中等

 在中，是AB边上的一点，CD=2，的面积为4，则AC的长为                 。

三、解答题

17. 难度：中等

    已知为等比数列，为等差数列的前n项和，

    （1）求的通项公式；

    （2）设，求

18. 难度：简单

    哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若干。根据以往对500名40岁以下（含40岁）人员和500名40岁以上人员的统计调查，有如下一系列数据：40岁以下（含40岁）人员购买热饮等食品的有260人，不购买热饮食品的有240人；40岁以上人员购买热饮等食品的有220人，不购买热饮等食品的有280人，请根据以上数据作出22列联表，并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄（按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？

    注：要求达到99.9%的把握才能认定为有关系。

    s

19. 难度：中等

    已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且，M是A₁B₁的中点，

    （1）求证：平面ABC；

    （2）求二面角A₁—BB­1—C的余弦值。

20. 难度：中等

    已知椭圆M的中心为坐标原点 ，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点。

    （1）求椭圆M的标准方程；

    （2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围。

21. 难度：困难

    已知函数在处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。

    （1）求k的取值范围；

    （2）若对于任意，存在k，使得，求证：

    请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 难度：困难

 选修41：几何证明选讲

    如图，相交于A、B两点，AB是的直径，过A点作的切线交于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与、交于C，D两点。

    求证：（1）PA·PD=PE·PC；

    （2）AD=AE。

23. 难度：中等

 选修4—4：坐标系与参数方程

    在极坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。

    （1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；

    （2）求|BC|的长。

24. 难度：中等

 选修4—5：不等式选讲

    已知关于x的不等式（其中）。

    （1）当a=4时，求不等式的解集；

    （2）若不等式有解，求实数a的取值范围。