江西省抚州一中2011-2012学年高三第二次月考（数学理）

一、解答题

1. 难度：中等

已知数列是公差不为零的等差数列，数列满足的前n项和。

(1)若的公差等于首项a₁，证明对于任意正整数n都有；

(2)若中满足，试问n多大时，S_n取得最大值？证明你的结论。

2. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 难度：困难

已知函数

(1)求最小值；

(2)已知：，求证：；

(3)图象上三点A、B、C，它们对应横坐标为，，，且，，为公差为1 等差数列，且均大于0，比较和长大小.

二、选择题

4. 难度：简单

 集合， ，已知，那么实数k的取值范围是（       ）

A．(－¥,1)    B．(－¥,1]  C． (1,+¥)     D． (－¥,+¥)

5. 难度：简单

 若复数（为虚数单位）为非纯虚数，则实数不可能是 (       )

     A．0          B．1        C．-1            D．2

6. 难度：中等

 已知函数，则函数的大致图象是（        ）

7. 难度：中等

 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。下列四个命题，其中是“可换命题”的是（　      　）

①垂直于同一平面的两直线平行；               ②垂直于同一平面的两平面平行；

③平行于同一直线的两直线平行；               ④平行于同一平面的两直线平行．

A．①②          B．①④          C．①③         D．③④

8. 难度：中等

 是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的（        ）

A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件

C．充分必要条件                         D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

 设把的图象按向量 (>0)平移后，恰好得到函数=()的图象，则的值可以是（         ）

 A．         B．      C．π        D．

10. 难度：中等

 按如图1所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是（        ）

  A．           B．  

  C．         D．

11. 难度：中等

 学校高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2到5层的某一层楼上课，则满足有且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（        ）种

A．81          B．27         C．54        D．108

12. 难度：中等

 在椭圆上有一点M，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，若，则椭圆离心率的取值范围是    （          ）

    A．  B． C． D．

13. 难度：中等

 若（）则²+的最大值是（         ）

A．1            B．2            C．3           D．4

三、填空题

14. 难度：中等

 在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：        .                  .

15. 难度：简单

 一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为           .

16. 难度：中等

 设是平面内的四个单位向量，其中与的夹角为，对这个平面内的任一个向量，规定经过一次“斜二测变换”得到向量，设向量，则经过一次“斜二测变换”得到向量的模是_____________________.

17. 难度：中等

 若函数y = f (x)，x∈D同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设(a>0且a≠1) ,则当f (x)为可等射函数时，a的取值范围是          ．

18. 难度：中等

 选做题（请考生在两个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．

(A)在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是              .

(B) 当的取值范围是        .

四、解答题

19. 难度：困难

已知函数, 其中，

相邻两对称轴间的距离不小于

   （1）求的取值范围；

   （2）在

 的面积.

20. 难度：中等

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.

(1) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的数学期望；

(3) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

21. 难度：中等

如右图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．