江苏省致远中学2011-2012学年高三第一次教学质量检测（数学）

一、填空题

1. 难度：简单

 设集合,，则   ★    。

2. 难度：简单

 命题“”的否定是   ★    。

3. 难度：简单

 将复数表示为的

形式为   ★    。

4. 难度：简单

 取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，

则剪得两段的长都不小于的概率为   ★    。

5. 难度：简单

 已知平面向量，，则与夹

角的余弦值为   ★    。

6. 难度：简单

 根据如图所示的算法流程，可知输出的结果为   ★    。

7. 难度：简单

 已知，其中，则 ★  。

8. 难度：中等

 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为   ★    。

9. 难度：简单

 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则=   ★   。

10. 难度：中等

 设，是两条不同的直线，是一个平面，给出下列四个命题，正确命题的题号

是   ★    ．

①若，，则       ②若，，则

③若，，则        ④若，，则

11. 难度：中等

 椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若垂直于x轴，则椭圆的离心率为   ★    。 

12. 难度：中等

 设，若，且，则的取值范围是   ★    。

13. 难度：中等

 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列四个命题中真命题的序号为   ★    。

①； ②； ③；   ④

14. 难度：中等

 若函数在区间上是单调递增函数，则使方程有整数解的实数的个数是   ★    。

二、解答题

15. 难度：中等

 在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．

（Ⅰ）求角的值;

（Ⅱ）若，求△ABC面积．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上， AD⊥C1D．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C1 B1；

（Ⅱ）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，

A1E∥平面ADC1？请给出证明．

17. 难度：中等

已知二次函数满足条件，,且方程有等根.

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)是否存在实数，使的定义域和值域分别为和?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由．

18. 难度：中等

如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.

（Ⅰ）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.

（Ⅱ）若，求当为何值时，矩形的面积有最大值？

其最大值是多少？(精确到0.01m2)

19. 难度：困难

在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

    (1)求圆的方程；

    (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：压轴

已知函数定义域为(),设.

（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（2）求证:；

（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的

 的个数