江苏苏北四市2010-2011学年高三第一次调研考试数学试题

一、填空题

1. 难度：简单

 若复数，，其中i是虚数单位，则复数的虚部是   ▲   .

2. 难度：简单

 已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ▲  .

3. 难度：中等

 若函数为奇函数，则实数  ▲  .

4. 难度：简单

 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程

是      ▲     ．

5. 难度：简单

 从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如

下表，则这10人成绩的方差为     ▲     .

分数	5	4	3	2	1
人数	3	1	1	3	2

6. 难度：中等

 如图是一个算法的流程图，则最后输出的 ▲  .

7. 难度：中等

 已知直线：，：，若∥，则实数a的值是 ▲ ．

8. 难度：中等

 一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是    ▲     .

9. 难度：中等

 已知，，则   ▲   ．

10. 难度：中等

 已知函数及其导函数的图象如图所示，

则曲线在点P处的切线方程是     ▲      ．

11. 难度：中等

 在△ABC中，点M满足，若

，则实数m的值为   ▲  ．

12. 难度：中等

 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，，则．

上面命题中，真命题的序号是   ▲    （写出所有真命题的序号）．.w.w.k.s

13. 难度：中等

 若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围

是   ▲   ．

14. 难度：中等

 已知数列，满足，，，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是    ▲    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知，，，是平分线.

（1）求证：；

（2）求的值.

16. 难度：中等

如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，且E，F分别是BC， CD的中点. 求证：

（1）EF∥平面；

（2）平面⊥平面.

17. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列中，已知，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18. 难度：中等

已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

19. 难度：中等

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）

（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；

（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围．

 

20. 难度：中等

已知函数(，且a为常数)．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若方程只有一解，求a的值；

（3）若对所有都有，求a的取值范围．

21. 难度：简单

 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.选修4-1：几何证明选讲

如图，是⊙O的直径，弦、的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

（1）；

（2）．

B.选修4-2：矩阵与变换

求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，．

C.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长.

D.选修4-5：不等式选讲

若存在实数使成立，求常数的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）试在面上确定一点G，使平面．

 

23. 难度：中等

设二项展开式的整数部分为，小数部分为.

（1）计算的值；

（2）求.