2010年高考试题（北京卷）解析版（理）

一、选择题

1. 难度：简单

 集合，则=

    （A） {1,2}    （B） {0,1,2}       （C）{1,2,3}        （D）{0,1,2,3}

2. 难度：简单

 在等比数列中，，公比．若，则m=

（A）9          （B）10        （C）11             （D）12

3. 难度：简单

 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为    

4. 难度：简单

 8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

    （A）      （B）      （C）      （D）

5. 难度：简单

 极坐标方程（-1）（）=0（0）表示的图形是

    （A）两个圆             （B）两条直线

    （C）一个圆和一条射线           （D）一条直线和一条射线

6. 难度：简单

 a、b为非零向量。“”是“函数f（x）=（xa+b）（xb-a）为一次函数”的

    （A）充分而不必要条件  （B）必要不充分条件

    （C）充分必要条件       （D）既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

 设不等式组， 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上

存在区域D上的点，则a 的取值范围是

    （A）（1,3]     （B ）[2,3]    （C ） （1,2]       （D ）[ 3, ）

8. 难度：中等

 如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DP＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积

    （A）与ｘ，ｙ，ｚ都有关

    （B）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关

    （C）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关

    （D）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

二、填空题

9. 难度：简单

 在复平面内，复数对应的点的坐标为          。

10. 难度：简单

 在△ABC中，若b = 1，c =，，则a =          。

11. 难度：简单

 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身

高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图

（如图）。由图中数据可知a＝          。若

要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） ,

[140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方

法选取18人参加一项活动，则从身高在

[140 ，150]内的学生中选取的人数应为         。

12. 难度：简单

 如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，

AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝          ；CE＝         。

13. 难度：简单

 已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为        ；渐近线方程为          。

14. 难度：中等

 如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。

设顶点的轨迹方程是，则函数

的最小正周期为        ；在其两

个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为

         。

    说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。

三、解答题

15. 难度：中等

    已知函数。

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）求的最大值和最小值。

16. 难度：中等

    如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，

CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1．

   （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；

   （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

   （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

17. 难度：中等

 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，（＞），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ	0	1	2	3

   （Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

   （Ⅱ）求，的值；   （Ⅲ）求数学期望ξ。

18. 难度：中等

 已知函数（）=In（1+）-+（≥0）。

   （Ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，（1））处的切线方程；

   （Ⅱ）求（）的单调区间。

19. 难度：中等

 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．

   （Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

   （Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

20. 难度：困难

    已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为

   （Ⅰ）证明：，且;

   （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数

   （Ⅲ） 设P，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为（P）．

    证明：（P）≤．