2010年吉林省长春外国语学校高二期末考试（数学）

一、选择题

1. 难度：中等

 化简三角有理式的值为      （    ）

    A． 1       B．      C．      D．1+

2. 难度：简单

 若，则是的        （    ）

    A．充分而不必要条件        B．必要而不充分条件

    C．充要条件                D．既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

 集合P={}，则集合为    （　　）

    A．         B．  

    C．        D．

4. 难度：中等

 设,为两个相互垂直的单位向量。已知=，=，=r+k.若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为           （    ）

    A．          B．   

    C．            D．

5. 难度：中等

 在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，则CA₁与C₁B所成的角的大小是（    ）

    A．60°    B．75°         C．90°         D．105°

6. 难度：简单

 设，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是              （   ）

    A．     B．       C．      D．

7. 难度：简单

 若的二项式展开式中系数最大的项为     （    ）

    A．第8项           B．第9项      

    C．第8项和第9项       D．第11项

8. 难度：中等

 设，，则下述关系式正确的是                （    ）

    A．        B．   

    C．        D．

9. 难度：简单

 下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为       （    ）

    A．     B．    C．      D．

10. 难度：简单

 设有算法如下：

如果输入A=144, B=39,则输出的结果是          （    ）

    A．144      B．3        C． 0       D．12

二、填空题

11. 难度：中等

 满足方程所有实数解为     。

12. 难度：简单

  函数的最小正周期为        ．

13. 难度：简单

 设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为         .

14. 难度：中等

 设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为         .

15. 难度：简单

 设z是虚数，，且，则z的实部取值范围为         .

16. 难度：困难

 设。如果对任何，都有，则k的最小值为          .

17. 难度：中等

 设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为         .

三、解答题

18. 难度：困难

 设数列，

问：（1）这个数列第2010项的值是多少；

（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.

19. 难度：困难

 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

20. 难度：中等

 已知椭圆，以（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为，求的值。

四、附加题

21. 难度：中等

 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记。证明：。

22. 难度：困难

 （1）设，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线过格点（n，m），记对应的曲线段上的格点数为N。证明：

。

   （2）进而设a是一个正整数，证明：

。

   （注表示不超过x的最大整数）