2009-2010学年度新课标高三上学期数学单元测试8-文科-立体几何初步

一、选择题

1. 难度：简单

 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、

右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体

的上面，则这个正方体的下面是        （    ）

    A． 0           B． 7           C．快           D．乐 

2. 难度：简单

 用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体需要的小立方块最少与最多分别是         （    ）

                                    

A． 10与15             B． 9与17        

C．10与16          D．9与16

3. 难度：中等

 设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面，给出下列命题：

①若m⊥，n∥，则m⊥n； ②若则∥；

③若m∥，n∥，则m∥n;  ④若∥，∥, m⊥则m⊥．

其中正确命题的个数是            （    ）A． 0          B． 1           C． 2          D． 3

4. 难度：简单

 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于       （    ） 

 

A． 8+         

B． 4+        

C．8+4           

D．

5. 难度：简单

 已知、是不同的两个平面，直线a，直线b．命题p：a与b无公共点；命题q：∥，则p是q的          （    ）

    A．充分而不必要条件            B．必要而不充分条件

    C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

 在空间中，有如下命题：

    ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面∥平面，则平面内任意一条直线m∥平面；

③若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面．

其中不正确命题的个数为          （    ） 

A． 3         B． 2          C． 1         D． 0

7. 难度：简单

 如图所示,b、c在平面内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b,E在线段AB上(C,D,E均异于A ,B)，则△CDE是          （    ）

   A．锐角三角形      B．直角三角形          

    C．钝角三角形           D．等腰三角形

8. 难度：简单

 点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为             （    ）

A．30°     B．45°         C．60°     D．90°

9. 难度：简单

 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 

                    （    ）

A．48      B．18       C．24      D．36．

10. 难度：中等

 一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切，则将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是（    ）   

A．    B．           C．           D．  

11. 难度：中等

 如图，一块正方体木料ABCD一A₁B₁C₁D₁的棱长为3m,点M在棱B₁B上且B₁M：MB=1:2,过M把木料锯开且使锯面与B₁D平行，并使截面是轴对称图形，图中在木料表面上画出了锯痕．则此截面的面积为        ．

A．       B．         

C．         D．

12. 难度：中等

 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”;黑“电子狗”爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是                （    ）

A． 0           B．1            C．         D．

二、填空题

13. 难度：简单

 下列命题：

①两条直线没有公共点，则这两条直线平行．

②两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．

③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．

④两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； 

⑤若∥，∥，则∥；

⑥若、m是异面直线，∥，m∥，则∥ 

其中错误命题的序号为            ．

14. 难度：简单

 两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱

长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体

的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上，则这

样的几何体体积的可能值有               个．

15. 难度：简单

 已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心到平面的距离为              ,

16. 难度：中等

 正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F、G分别为棱AA₁、CC₁、A₁B₁的中点，则下列几个命题：

    ①在空间中与三条直线A₁D₁，EF，CD都相交的直线有无数条;

②点G到平面ABC₁D₁的距离为

③直线AA₁与平面ABC₁D₁所成的角等于45°；

④空间四边形ABCD₁在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是

⑤直线A₁C₁与直线AG所成角的余弦值为;

⑥若一直线PQ既垂直于A₁D,又垂直于AC,则直线PQ与BD₁是垂直不相交的关系．

其中真命题是              ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

 (09广东文17)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH．图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．

   （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

   （2）求该安全标识墩的体积

   （3）证明:直线BD平面PEG

18. 难度：中等

 (12分)在直三棱柱中，，，且异面直线 与所成的角等于，设．

   （1）求的值；

   （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

19. 难度：中等

 如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．

    （1）求证：//平面；

    （2）求证：；

    （3）求 。

20. 难度：中等

 (12分)如图甲,正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中

   （Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；

   （Ⅱ）在线段BC上找一点P，使AP⊥DE，并求BP．

   （Ⅲ）求三棱锥D-ABC外接球的表面积．(只需用数字回答,可不写过程)

 

21. 难度：中等

 数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了  一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为的塑料棒．

   （1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另  一根塑料棒又是什么？

请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；

   （2）试证：平面ABD⊥平面CBD；

   （3）求新三棱锥的外接球的表面积．

22. 难度：中等

 （09浙江文19．）如图，平面，，，，分别为的中点．

   （I）证明：平面；

   （II）求与平面所成角的正弦值．