2009-2010学年度新课标高三上学期数学单元测试8-理科-立体几何初步、空间向量与立体几何

一、选择题

1. 难度：简单

 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、

右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方

体的上面，则这个正方体的下面是      （    ）

    A． 0           B． 7           C．快           D．乐 

2. 难度：简单

 用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体需要的小立方块最少与最多分别是                                          （    ）

 

    A． 10与15             B．9与17      

    C．10与16          D．9与16

3. 难度：简单

 设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面，给出下列命题：

①若m⊥，n∥，则m⊥n；②若则∥；

③若m∥，n∥，则m∥n;④若∥，∥, m⊥则m⊥．

其中正确命题的个数是            （    ）

    A． 0          B． 1           C． 2          D． 3

4. 难度：简单

 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于       （    ）   

    A． 8+         

    B． 4+        

    C．8+4           

    D．

5. 难度：简单

 已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（    ）

    A．           B．-6           C．-6,           D．6,- 

6. 难度：中等

 在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面∥平面，则平面内任意一条直线m∥平面；

③若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面．

其中不正确命题的个数为          （    ） 

    A． 3           B． 2           C． 1           D． 0

7. 难度：简单

 若A，B，C，则△ABC的形状是      （    ）

    A．不等边锐角三角形     B．直角三角形 

    C．钝角三角形           D．等边三角形

8. 难度：简单

 点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为             （    ）

    A．30°              B．45°        C．60°         D．90°

9. 难度：中等

 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 

                    （    ）

    A．48      B．18       C．24      D．36．

10. 难度：中等

 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB =4,AC=6，BD = 8，CD=2，则该二面角的大小为   （    ）

     A．150⁰       B．45⁰      C．60⁰       D．120⁰

11. 难度：中等

 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC,点D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为，则sin的值是    （    ）

    A．         B．         C ．       D．

12. 难度：中等

 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”;黑“电子狗”爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是                （    ）

    A． 0           B．1            C．         D．

二、填空题

13. 难度：中等

 已知力=(1,2,3)，＝(-2,3,-1)，(3,-4,5)，若，，共同作用于同一物体上，使物体从M₁(0，-2，1)移到M₂(3，1，2)，则合力作的功为         ．

14. 难度：简单

 两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为

    1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个

平面平行,且各顶点均在正方体的面上，则这样的

几何体体积的可能值有               个．

15. 难度：中等

 已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心到平面的距离为              ,

16. 难度：中等

 下列命题：

①若与共线, 与共线，则与共线；

②向量、、共面，则它们所在直线也共面；

③若与共线，则存在唯一的实数，使=；

④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．,则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，

上述命题中的真命题是          ．

三、解答题

17. 难度：中等

 （09浙江理20）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．

   （I）设是的中点，证明：平面；

   （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．

18. 难度：中等

 在直三棱柱中，，，且异面直线与 所成的角等于，设．

   （1）求的值；

   （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

19. 难度：中等

 (12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

   （1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD;

   （2）证明BD∥面PEC;

   （3）求面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值．

20. 难度：中等

 已知为空间的一个基底，且， ，，．

   （1）判断四点是否共面；

   （2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量．

21. 难度：中等

 数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为在和的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为的塑料棒．

   （1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；

   （2）试证：平面ABD⊥平面CBD；

   （3）求新三棱锥的外接球的表面积．

22. 难度：中等

 (09广东理18)如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．

   （1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

   （2）证明：直线平面；

   （3）求异面直线所成角的正弦值．