湖南省长沙市一中2010届高三第一次模拟考试（理）

一、选择题

1. 难度：简单

 已知复数=2+i，=3 – i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（   ）

A．0                B．               C．1                D.  2  

2. 难度：简单

 在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm）分布的茎叶图如图．已知记录的平均身高为177cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为     （   ）

    A．5        B．6                C．7                D．8

实验号    列  号	A	B	C	实验结果
1	A1	B1	C1	79
2	A1	B2	C2	65
3	A2	B1	C2	88
4	A2	B2	C1	81
1水平的平均值	72	83.5	80
2水平的平均值	84.5	73	76.5

3. 难度：简单

 某化工产品的产量受A、B、C三个因素的影响，每个因素有两个水平，分别用A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂表示．分析如右正交试验结果表，得到最佳因素组合（最佳因素组合是指实验结果最大的因素组合）为（   ）

    A．(A₁，B₂，C₁)  B．(A₂，B₁，C₂)      C．(A₂，B₁，C₁)      D．(A₂，B₂，C₂)

4. 难度：简单

 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积（单位：cm³）是                                       （   ）

A．4                B．5                C．6                D．7

5. 难度：简单

 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y = x²图像下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（   ）

    A．              

B．              

C．              

D．

6. 难度：中等

 某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（   ）

    A．72种             B．54种             C．36种             D．18种

7. 难度：中等

 已知函数f (x) = ，若存在实数使得f (x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（   ）

    A．1对                                  B．2对 

C．3对                                  D．4对

8. 难度：简单

 已知a、b是关于x的方程的两根，则过两点A (a²，a)，B (b²，b)的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（   ）

A．相交                                 B．相离

C．相切                                 D．不能确定

二、填空题

9. 难度：简单

 如果执行的程序框图如下图所示，那么输出的S=        .

10. 难度：简单

 △ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，

则=     .

11. 难度：简单

 已知直线l的极坐标方程是，若直线l与双曲线的一条渐近线平行，则实数a =      ．

12. 难度：简单

 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是          .

13. 难度：中等

 某研究机构为了研究人脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了105人，并规定：身高大于175cm的为“高个”，小于或等于175cm的为“非高个”；脚长大于42码的为“大脚”，小于或等于42码的为“非大脚”．根据测得结果得到一个2×2列联表．根据该表信息，能够以         的把握认为“脚的大小与身高有关系”．（填百分比）．

	高  个	非高个	总  计
大  脚	20	30	50
非大脚	10	45	55
总  计	30	75	105

    附：，其中n = a + b + c + d．

P (k^2≥k0)	0.05	0.025	0.010
k0	3.841	5.024	6.635

14. 难度：中等

 已知函数f (x) = 则函数y = f (|x|)的零点个数为        ．

15. 难度：中等

 给定项数为m (m∈N*，m≥3)的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}(i= 1，2，3，…，m),这样的数列叫”0-1数列”.若存在一个正整数k (2≤k≤m – 1)，使得数列{a_n}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”．例如数列{a_n}:0，1，1，0，1，1，0，因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”.

（1）已知数列{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列         “5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；

（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为 “2阶可重复数列”，则m的最小值是         ．

三、解答题

16. 难度：中等

 已知向量．

   （1）求函数的最大值；

   （2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3，a的值．

17. 难度：中等

 “上海世博会”将于2010年5月1日至10月31日在上海举行。世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，其中陈列的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局将举办“中国2010年上海世博会‘中国馆·贵宾厅’艺术品方案征集”活动．某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征，假设这四件代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为，陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为．假定这四件作品是否入选相互没有影响．

（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率;

（2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量，求的数学期望.

18. 难度：中等

 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB = 4，CD = 2，等腰梯形的高为3，O为AB中点，PO⊥平面ABCD，垂足为O，PO = 2，EA∥PO．

    （1）求证：BD⊥平面EAC；

    （2）求二面角E—AC—P的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

 某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．

    （1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；

    （2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

20. 难度：压轴

 在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中右焦点F₂也是拋物线C₂：y² = 4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂| = ．

    （1）求椭圆C₁的方程；

（2）设，是否存在斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，且|AE| = |BE|？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

 已知等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）试确定的值，使得数列为等差数列；

（3）当为等差数列时，对任意正整数，在与之间插入2共个，得到一个新数列．设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数的值。