湖南省长沙市一中2010届高三上学期第二次月考（理）

一、选择题

1. 难度：简单

 设全集U = {1，2，3，7，8}，集合M = {1，3}，N = {1，7，8}，则集合 _U (M∪N)中

元素共有（    ）

A．1                B．2                C．3                D．4

2. 难度：简单

 命题“存在x₀∈R，≤0”的否定是（    ）

A．不存在x₀∈R，≤0                  B．对任意的x₀∈R，＞0

C．存在x₀∈R，＞0                D．不存在x₀∈R，＞0

3. 难度：简单

 设命题p：{x| |x|＞1}；命题q：{x| x² + 2x –3＞0}，则是的（    ）

A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件

C．充要条件                             D．即不充分也不必要条件

4. 难度：简单

 已知f (x) = lg，若f (a) = b，则f (–a) =（     ）

A．                                   B．     

C．b                                    D．–b

5. 难度：简单

 函数y = x³ 与y =的图象交点所在区间是（    ）

A．（0，1）          B．（1，2）          C．（2，3）          D．（3，4）

6. 难度：中等

 已知函数f (x)的定义域为[–2，+∞)，部分对应值如下表；f ′(x)为f (x)的导函数，函数y = f ′(x)的图象如下图所示．若实数a满足f (2a + 1)＜1，则a的取值范围是（    ）       

x	–2	0	4
f (x)	1	–1	1

   

A．            B．          C．           D．

7. 难度：中等

 已知函数f (x) = x² –(x≠0，m∈R)在区间[2，+∞)上是增函数，则（   ）

A．m的最大值为–16                      B．m的最大值为16

C．m的最小值为–16                      D．m的最小值为16

8. 难度：简单

 若函数y =f (x)( x∈R) 满足f (x + 2) = f (x)，且x∈(–1，1]时，f (x) = | x |，则log₃|x| –f (x) =0实根个数为（   ）

A．2                B．3                C．4                D．6

二、填空题

9. 难度：简单

 函数y = In(e –)的定义域为       ．

10. 难度：简单

 函数y =的图象的对称中心为       ．

11. 难度：简单

 已知定义在R上的函数y = f (x)满足下列条件

①对任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有 f (x₁)＜f (x₂)

②y = f(x + 2)的图象关于y轴对称       

则与f (1)的大小关系为．             

12. 难度：简单

 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示，则该汽车在前3个小时内行驶的路程为          km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在t∈[1，2]时，汽车里程表计数S与时间t的函数解析式为                  ．

13. 难度：简单

 设函数f (x) =，若f (1) + f (a) = 2，则a的所有可能值是       ．

14. 难度：中等

 已知函数f (x) = ，直线l：9x + 2y + c = 0，当x∈[–2，2]时，函数y = f (x)图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是              ．

15. 难度：压轴

 设函数f (x)的定义域为R．若存在正常数M，使|f (x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f (x)为有界泛函数．在函数：①f (x) = –3x，②f (x) = x²，③f (x) = sin²x，④f (x) = 2^x， ⑤f (x) = x cos x中，属于有界泛函数且满足f(x₁ +x₂) = f (x₁)+f(x₂)对x₁，x₂∈R都成立的函数有                ．（填上所有正确的序号）       

三、解答题

16. 难度：中等

 已知y = f (x)是定义在[–1，1]上的奇函数，x∈[0，1]时，f (x) =．

（1）求x∈[–1，0)时，y = f (x)解析式，并求y = f (x)在[0，1]上的最大值．

（2）解不等式f (x)>．

17. 难度：简单

 已知函数f (x) = mx² – 2x –1（mR）．f (x)<0解集为A，集合B = {x | 1＜x≤2}；若A∩B≠，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

 已知三次函数y = f (x)过点(–1，0)，且f ′(x) = (x + 1)²，将y = f (x)的图象向右平移一个单位，再将各点的纵坐标变为原来的3倍得函数y = g (x)的图象，函数y = h (x)与y = g (x)的图象关于点M(2，0)对称．

（1）求y = h (x)的解析式；        

（2）若直线x = t (0<t<4)将函数y = h (x)的图象与两坐标轴围成的图形的面积二等分，求t的值．

19. 难度：中等

 已知函数f (x) =

（1）若函数y = f (x)存在零点a² + 1，且直线y = x – 1与函数y = f (x)的图象相切，求a的值．       

（2）当b = 1时，讨论f (x)的单调性．

20. 难度：中等

 某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11 – x)²万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a≤3)．

（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L (x)与出厂价x的函数关系式；       

（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

21. 难度：困难

 已知集合D = {(x₁，x₂)|x₁>0，x₂>0，x₁ + x₂ = k，k为正常数}．

（Ⅰ）设u = x₁x₂，(x₁，x₂) ∈D，求u的取值范围T；

（Ⅱ）求证：当k≥1时，不等式对任意(x₁，x₂) ∈D恒成立；

（Ⅲ）求使不等式对任意(x₁，x₂) ∈D恒成立的k的范围．