重庆市巴南区2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

A. x²+3y＝1    B. x²+3x＝1    C. ax²+bx+c＝0    D.

3. 难度：中等

若点A（a，﹣2a²）在抛物线y＝x²+4x﹣4的对称轴上，则a的值是（　　）

A. 2    B. ﹣2    C. ±1    D. 1

4. 难度：中等

把方程x²﹣12x+33＝0化成（x+m）²＝n的形式，则式子m+n的值是（　　）

A. 9    B. ﹣9    C. ﹣3    D. 3

5. 难度：中等

已知点A（1，y）与点B（x，﹣2）关于原点对称，则点（x，y）到原点的距离是（　　）

A.     B. 2    C.     D. 1

6. 难度：中等

如图，正方形OABC绕着点O按逆时针方向旋转50°后能与正方形ODEF重合，则∠OFA的度数是（　　）

A. 10°    B. 15°    C. 20°    D. 30°

7. 难度：中等

如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A. （7，5）    B. （﹣2，0）    C. （5，7）    D. （3，5）

8. 难度：简单

已知关于x的方程kx²+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（  ）

A．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

B．当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

C．当k=1时，方程有一个实数解

D．当k=0时，方程无解

9. 难度：简单

某品牌汽车2015年的产量为125万辆，2017年的产量为250万辆，求该品牌汽车产量的年平均增长率．设该品牌汽车产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A. 250（1﹣x）²＝125    B. 125（1﹣x）²＝250

C. 250（1+x）²＝125    D. 125（1+x）²＝250

10. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°后能与△ADE重合，若∠ACB＝90°，则∠BDE＝（　　）

A. 65°    B. 70°    C. 75°    D. 80°

11. 难度：中等

若抛物线y＝﹣2x²+2x经过两点A（﹣1，y₁）和B（3，y₂），则下列关系式正确的是（　　）

A. 0＜y₂＜y₁    B. y₁＜y₂＜0    C. y₂＜0＜y₁    D. y₂＜y₁＜0

12. 难度：中等

若二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A. a＞b＞c    B. b＞a＞c    C. c＞a＞b    D. c＞b＞a

二、填空题

13. 难度：中等

一元二次方程的解是______．

14. 难度：中等

若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x²﹣6x+9＝0没有实数根，则k的取值范围是_____．

15. 难度：中等

若关于x的一元二次方程ax²＝b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则式子的值是_____．

16. 难度：简单

如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO′＝_________度．

17. 难度：中等

如图，正方形ABCD的对角线长为．点E、F分别在正方形ABCD的边AB、CD上，四边形EFMG的边MG分别与正方形ABCD的边AB、BC交于点H、K，边MF与正方形ABCD的边BC交于点N．若四边形EFDA沿直线EF折叠后能与四边形EFMG重合，则图中四个三角形△EGH、△HBK、△KMN、△NCF的周长的和为_____．

18. 难度：中等

如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x²（x＞0）上，则点A的坐标是_____．

三、解答题

19. 难度：中等

解下列方程：

（1）x²﹣3x+2＝0；

（2）（x+3）²＝2x+7．

四、填空题

20. 难度：中等

已知是二次函数．

（1）求m的值；

（2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．

五、解答题

21. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，坐标原点O在边BC上，AD＝6，OA、OB的长分别是关于x的一元二次方程x²﹣7x+12＝0的两个根．且OA＞OB．

（1）求点C、D的坐标．

（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．

22. 难度：中等

已知二次函数y＝﹣x²+bx+c（b，c均为常数）的图象经过两点A（2，0），B（0，﹣6）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点C（m，0）（m＞2）在这个二次函数的图象上，连接AB，BC，求△ABC的面积．

23. 难度：中等

如图，△A₁AC₁是由△ABC绕某点P按顺时针方向旋转90°得到的，△ABC的顶点坐标分A（﹣1，6），B（﹣5，0），C（﹣5，6）．

(1)求旋转中心P和点A₁，C₁的坐标；

(2)在所给网格中画出△A₁AC₁绕点P按顺时针方向旋转90°得到的图形；

(3)在所给网格中画出与△A₁AC₁关于点P成中心对称的图形．

24. 难度：中等

我区某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为70元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）根据（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：

①当该专卖店每件童装降价6元时，平均每天盈利多少元？

②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？

③该专卖店要想平均每天盈利900元，可能吗？请说明理由．

25. 难度：困难

正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和，点B在边AG上，点D在线段EA的延长线上，连接BE．

（1）如图1，求证：DG⊥BE；

（2）如图2，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求线段BE的长．

26. 难度：困难

如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x²+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．

(1)求k，b的值；

(2)点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；

(3)在(2)中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF₁G₁，过点G₁作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．